第二 数列( 学生用).doc

第二讲 数列的概念（等差等比数列）知识回顾：第一部分 等差数列一 定义式： 二 通项公式： 一个数列是等差数列的等价条件：(a，b为常数)，即是关于n的一次函数，因为，所以关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。三 前n项和公式： 一个数列是等差数列的另一个充要条件：(a，b为常数，a0)，即是关于n的二次函数，因为，所以关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。四 性质结论1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，如：3个数a-d,a,a+d； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d2.与的等差中项；在等差数列中，若，则；若，则；3.若等差数列的项数为2，则；若等差数列的项数为，则，且，4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设，则有； 5.,则前(m+n为偶数)或(m+n为奇数)最大 第二部分 等比数列一 定义：成等比数列。二 通项公式：，数列an是等比数列的一个等价条件是：当且时，关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。三 前n项和：；(注意对公比的讨论)四 性质结论：1.与的等比中项(同号)；2.在等比数列中，若，则；若，则；3.设， 则有讲前练习1.已知数列满足，则=2在数列中，若，则该数列的通项 。3设数列的前n项和为， ，且，则_.4已知数列的前项和，则其通项 5在等差数列an中，已知a510，a1231，首项a1= ，公差d= 。6一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是 第2项是 。7设是公差为正数的等差数列，若，则 8公差不为0的等差数列an中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于 。典例讲解例1（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 13 项。（2）设数列an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 。解：（1）答案：13法1：设这个数列有n项n13法2：设这个数列有n项 又 n13（2）答案：2 因为前三项和为12，a1a2a312，a24又a1a2a348， a24，a1a312，a1a38，把a1，a3作为方程的两根且a1a3，x28x120，x16，x22，a12，a36，选B.点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。例2（1）已知数列为等差数列，且（）求数列的通项公式；（）证明分析：（1）借助通过等差数列的定义求出数列的公差，再求出数列的通项公式，（2）求和还是要先求出数列的通项公式，再利用通项公式进行求和。解：（1）设等差数列的公差为d，由 即d=1。所以即（II）证明：因为，所以 例3已知数列的首项（是常数，且），（），数列的首项，（）。 （1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值。分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出。解：（1） (n2)由得， ，即从第2项起是以2为公比的等比数列。（2）当n2时，是等比数列, (n2)是常数， 3a+4=0，即 。点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。例4设数列的前n项和为，点均在函数y3x2的图像上,求数列的通项公式。 分析：根据题目的条件利用与的关系： ，（要特别注意讨论n=1的情况）求出数列的通项。解：依题意得，即。当n2时，;当n=1时， 所以。反馈练习1已知等差数列中，则前10项的和 。2在等差数列中，已知则 。3已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 。4如果成等比数列，则