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1 2充分统计量与完备统计量 一充分统计量在数理统计中 由样本来推断总体的前提是 样本包含了总体分布的信息 样本中包含的关于总体分布的信息可分为 1 关于总体结构的信息 即反映总体分布的类型 如总体服从正态分布 则来自该总体的样本相互独立并均服从该正态分布 即样本包含了总体分布为正态分布的信息 2 关于总体未知参数的信息 这是由于样本的分布中包含了总体分布中的未知参数 为了推断总体分布的未知参数 需要把样本中关于未知参数的信息 提炼 出来 即构造合适的统计量 样本的函数f X1 X2 Xn 例为研究某个运动员的打靶命中率 我们对该运动员进行测试 观测其10次 发现除第三 六次未命中外 其余8次都命中 这样的观测结果包含了两种信息 1 打靶10次命中8次 2 2次不命中分别出现在第3次和第6次打靶上 第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什么帮助的 一般地 设我们对该运动员进行n次观测 得到x1 x2 xn 每个xj取值非0即1 命中1 不命中为0 令T x1 xn T为观测到的命中次数 在这种场合仅仅记录使用T不会丢失任何与命中率 有关的信息 显然 一个 好 的统计量应该能够将样本中所包含的关于未知参数的信息全部提炼出来 而不没有任何有用信息损失 这就是英国著名统计学家Fisher于1922年提出的一个重要的概念 充分统计量 样本X1 X2 Xn有一个样本分布F x 这个分布包含了样本中一切有关 的信息 统计量T T X1 X2 Xn 也有一个抽样分布F T t 当我们期望用统计量T代替原始样本并且不损失任何有关 的信息时 也就是期望抽样分布F T t 像F x 一样概括了有关 的一切信息 这即是说在统计量T的取值为t的情况下样本x的条件分布F x T t 已不含 的信息 这正是统计量具有充分性的含义 二 因子分解定理 根据充分统计量的含义 在对总体未知参数进行推断时 应在可能的情况下尽量找出关于未知参数的充分统计量 但从定义出发来判别一个统计量是否是充分统计量是很麻烦的 为此 需要一个简单的判别准则 下面给出一个定理 因子分解定理 运用这个定理 判别甚至寻找一个充分统计量有时会很方便 例1 4根据因子分解定理证明例1 3 证明样本的联合分布律为 若取 则有 若取 则 三 完备统计量 为了介绍完备统计量的概念 首先需要引入完备分布函数族的概念 完备统计量的含义不如充分统计量那么明确 但由定义可见它有如下特征 但反之不成立 如果一个统计量既是充分的 又是完备的 则称为充分完备统计量 在寻求总体分布中未知参数的优良估计中 充分完备统计量扮演着重要的角色
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