北师大版选修11 2.2.2.1 抛物线的简单性质 作业.docx

2.2抛物线的简单性质第1课时抛物线的简单性质课时过关能力提升1.抛物线y2=ax(a0)的准线是x=-1,那么它的焦点坐标是()a.(1,0)b.(2,0)c.(3,0)d.(-1,0)解析:准线为x=-a4=-1,a=4,即y2=4x.焦点坐标为(1,0).答案:a2.顶点在原点,关于y轴对称,并且经过点m(-4,5)的抛物线方程为()a.y2=165xb.y2=-165xc.x2=165yd.x2=-165y解析:由题意,可知抛物线开口向上.设方程为x2=2py(p0),将(-4,5)代入,得p=85,故抛物线方程为x2=165y.答案:c3.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()a.(6,+)b.6,+)c.(3,+)d.3,+)解析:抛物线的焦点到顶点的距离为3,p2=3,即p=6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p2,抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3,+).答案:d4.已知f是抛物线y2=x的焦点,a,b是该抛物线上的两点,|af|+|bf|=3,则线段ab的中点到y轴的距离为()a.34b.1c.54d.74解析:根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段ab中点到y轴的距离为12(|af|+|bf|)-14=32-14=54.答案:c5.设m(x0,y0)为抛物线c:x2=8y上一点,f为抛物线c的焦点,以f为圆心,|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交,则y0的取值范围是()a.(0,2)b.0,2c.(2,+)d.2,+)解析:圆心到抛物线准线的距离为p,即4,根据已知只要|fm|4即可.根据抛物线定义,|fm|=y0+2,由y0+24,解得y02,故y0的取值范围是(2,+).答案:c6.如图,设抛物线y2=4x的焦点为f,不经过焦点的直线上有三个不同的点a,b,c,其中点a,b在抛物线上,点c在y轴上,则bcf与acf的面积之比是()a.|bf|-1|af|-1b.|bf|2-1|af|2-1c.|bf|+1|af|+1d.|bf|2+1|af|2+1解析:设a(x1,y1),b(x2,y2),由抛物线定义,得|af|=x1+1,|bf|=x2+1,则sbcfsacf=bcac=x2x1=|bf|-1|af|-1,故选a.答案:a7.设抛物线y2=mx的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的方程为.答案:y2=8x或y2=-16x8.已知顶点与原点o重合,准线为直线x=-14的抛物线上有两点a(x1,y1)和b(x2,y2),若y1y2=-1,则aob的大小是.解析:由已知得抛物线方程为y2=x,因此oaob=x1x2+y1y2=y12y22+y1y2=(-1)2+(-1)=0.oaob.aob=90.答案:909.过定点a(-2,-1),倾斜角为45的直线与抛物线y=ax2交于b,c,且|bc|是|ab|,|ac|的等比中项,求抛物线方程.解:设a(-2,-1),b(x1,y1),c(x2,y2)在x轴上的射影分别为a(-2,0),b(x1,0),c(x2,0),|bc|2=|ab|ac|,|bc|2=|ab|ac|.于是有|x1-x2|2=(x1+2)(x2+2),直线ac的方程为y=x+1.代入y=ax2并整理得ax2-x-1=0.x1+x2=1a,x1x2=-1a,把代入得,a=1或a=-14.当a=1时,方程ax2-x-1=0根的判别式0;当a=-14时,=0,b,c重合,不合题意,舍去.抛物线方程为y=x2.10.抛物线y2=2px(p0)的焦点为f,经过点f的直线交抛物线于a,b两点,点c在抛物线的准线上,且bcx轴.试证明直线ac经过原点o.证明:方法一:设直线ab的方程为x=my+p2,a(x1,y1),b(x2,y2),c-p2,y2.由x=my+p2,y2=2px,得y2-2pmy-p2=0,y1y2=-p2.koa=y1x1,koc=y2-p2=-2y2p=-2-p2y1p=2py1=y12x1y1=y1x1=koa.o,a,c三点共线,即直线ac经过原点o.方法二:抛物线的焦点为fp2,0,经过点f的直线ab的方程可设为x=my+p2,代入抛物线方程,得y2-2pmy-p2=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1,y2是该方程的两根,y1y2=-p2.bcx轴,且点c在准线x=-p2上,点c的坐标为-p2,y2.直线oc的斜率为k=y2-p2=2py1=y1x1,即k也是直线oa的斜率,直线ac经过原点o.方法三:如图,过点a作adl,d为垂足,则adefbc,设ac与ef相交于点n,则|en|ad|=|cn|ac|=|bf|ab|,|nf|bc|=|af|ab|.由抛物线的定义可知|af|=|ad|,|bf|=|bc|,|en|=|ad|bf|ab|=|af|bc|ab|=|nf|.即点n是ef的中点,与抛物线的顶点o重合,所以直线ac经过原点o.11.(拔高题)已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点的直线交抛物线于a,b两点,且|ab|=52p,求ab所在的直线方程.解:方法一:焦点为fp2,0,设a(x1,y1),b(x2,y2).若abx轴,则|ab|=2p0)的准线为x=-p2,设点a(x1,y1),b(x2,y2),a,b到准线的距离分别为da,db,由抛物线的定义知,|af|=da=x1+p2,|bf|=db=x2+p2.于是|ab|=x1+x2+p=52p,x1+x2=32p.当x1=x2时,|ab|=2p52p,直线ab与x轴不垂直.设直线ab的斜率为k(k0).又点f的坐标为p2,0,