北师大版选修12 推理与证明 章末分层突破3 学案.doc

章末分层突破自我校对合情推理间接证明归纳推理综合法_合情推理1.归纳推理的特点及一般步骤2类比推理的特点及一般步骤(1)观察式子：1，1，1，由此可归纳出的式子为()a1b1c1d1(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin sin()0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin sinsin0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为_【精彩点拨】(1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得(2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论【规范解答】(1)由各式特点，可得10，b0，ab1，求证：8.试用综合法和分析法分别证明【精彩点拨】(1)综合法：根据ab1，分别求与的最小值(2)分析法：把变形为求证【规范解答】法一：(综合法)a0，b0，ab1，1ab2，ab，4.又(ab)24，8.法二：(分析法)a0，b0，ab1，要证8，只要证8，只要证8，即证4.也就是证4.即证2，由基本不等式可知，当a0，b0时，2成立，所以原不等式成立再练一题2(1)已知a，b，c为互不相等的非负数求证：a2b2c2()(2)用分析法证明：2cos().【解】(1)因为a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，又因为a，b，c为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“”，所以a2b2c2abbcac，因为abbc2，bcac2，abac2，又a，b，c为互不相等的非负数，所以abbcac()，所以a2b2c2()(2)要证原等式成立，只需证：2cos()sin sin(2)sin ，因为左边2cos()sin sin()2cos()sin sin()cos cos()sin cos()sin sin()cos sin 右边，所以成立，即原等式成立.反证法反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论反证法的思路：反设归谬结论设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明：数列an1不是等比数列【精彩点拨】(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论【规范解答】(1)设an的前n项和为sn，当q1时，sna1a1a1na1；当q1时，sna1a1qa1q2a1qn1，qsna1qa1q2a1qn，得，(1q)sna1a1qn，sn，sn(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kn，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列再练一题3已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图像与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0x0.(1)证明：是f(x)0的一个根；(2)试比较与c的大小【解】(1)证明：f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2.f(c)0，x1c是f(x)0的根又x1x2，x2，是f(x)0的一个根(2)假设0，由0x0，知f0与f0矛盾，c，又c，c.数学归纳法1.关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少2关注点二：由nk到nk1时，除等式两边变化的项外还要利用nk时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明已知正数数列an(nn)中，前n项和为sn，且2snan，用数学归纳法证明：an.【规范解答】(1)当n1时，a1s1，所以a1(an0)，所以a11，又1，所以n1时，结论成立(2)假设nk(k1，kn)时，结论成立，即ak.当nk1时，ak1sk1sk，所以a2ak110，解得ak1(an0)，所以nk1时，结论成立由(1)(2)可知，对nn都有an.再练一题4设数列an的前n项和sn(nn)，a22.(1)求an的前三项a1，a2，a3；(2)猜想an的通项公式，并证明【解】(1)由sn，得a11，又由a22，得a33.(2)猜想：ann.证明如下：当n1时，猜想成立假设当nk(k2)时，猜想成立，即akk，那么当nk1时，ak1sk1sk.所以ak1k1，所以当nk1时，猜想也成立根据知，对任意nn，都有ann.转化与化归思想转化与化归是数学思想方法的灵魂在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化设二次函数f(x)ax2bxc(a0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)0无整数根【精彩点拨】假设方程f(x)0有整数根k，结合f(0)，f(1)均为奇数推出矛盾【规范解答】假设方程f(x)0有一个整数根k，则ak2bkc0，f(0)c，f(1)abc都为奇数，ab必为偶数，ak2bk为奇数当k为偶数时，令k2n(nz)，则ak2bk4n2a2nb2n(2nab)必为偶数，与ak2bk为奇数矛盾；当k为奇数时，令k2n1(nz)，则ak2bk(2n1)(2naab)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2bk为奇数矛盾综上可知，方程f(x)0无整数根再练一题5用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xnyn能被xy整除【证明】设n2m1，mn，则xnynx2m1y2m1.要证明原命题成立，只需证明x2m1y2m1能被xy整除(mn)(1)当m1时，x2m1y2m1xy能被xy整除(2)假设当mk(kn)时命题成立，即x2k1y2k1能被xy整除，那么当mk1时，x2(k1)1y2(k1)1x2k21y2k21x2k1x2x2k1y2y2k1y2x2k1y2x2k1(x2y2)y2(x2k1y2k1)x2k1(xy)(xy)y2(x2k1y2k1)因为x2k1(xy)(xy)与y2(x2k1y2k1)均能被xy整除，所以当mk1时，命题成立由(1)(2)知，原命题成立1某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345立定跳远(单位：米)1.961.921.821.801.7830秒跳绳(单位：次)63a756063学生序号678910立定跳远(单位：米)1.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位：次)7270a1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则()a2号学生进入30秒跳绳决赛b5号学生进入30秒跳绳决赛c8号学生进入30秒跳绳决赛d9号学生进入30秒跳绳决赛【解析】由题意可知1到8号学生进入了立定跳远决赛由于同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，因此1到8号同学中有且只有6人进入两项决赛，分类讨论如下：(1)当a60时，a10，b0，且ab.证明： 【导学号：67720022】(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab