北师大版选修21 2.6距离的计算 学案.doc

6距离的计算1理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念(难点)2掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式(重点)3通过转化，会利用空间向量解决距离问题，从而培养准确的运算能力(难点)基础初探教材整理1点到直线的距离阅读教材p48例1以上的部分，完成下列问题利用向量求点a到直线l的距离步骤：(1)找到直线l的方向向量s，并求s0；(2)在直线l上任取一点p；(3)计算点p到点a的距离|；(4)计算在向量s上的投影s0；(5)计算点a到直线l的距离d.已知直线l过定点a(2,3,1)，且方向向量为n(0,1,1)，则点p(4,3,2)到l的距离为()a.bcd【解析】(2,0，1)，|，则点p到直线l的距离d .【答案】a教材整理2点到平面的距离阅读教材p49例2以上的部分，完成下列问题利用向量求点a到平面的距离步骤：(1)找到平面的法向量n；(2)在平面内任取一点p；(3)计算在向量n上的投影n0；(4)计算点a到平面的距离d|n0|.1已知直线ab平面，平面的法向量n(1,0,1)，平面内一点c的坐标为(0,0,1)，直线ab上点a的坐标为(1,2,1)，则直线ab到平面的距离为_【导学号：32550050】【解析】(1,2,0)，直线ab到平面的距离d.【答案】2已知单位正方体abcda1b1c1d1，求点a到面bdc1的距离【解】建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可知b(1,1,0)，c1(0,1,1)设面bdc1的法向量为n(x，y，z)，则令y1，则面bdc1的法向量为n(1，1,1)取面bdc1内的点d(0,0,0)，则(1,0,0)，点a到面bdc1的距离d.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型点到点、点到线、线到线的距离(1)如图261，在60的二面角ab内，ac，bd，acab于a，bdab于b，且acabbd1，则cd的长为_图261【自主解答】，222223211cos 1202，|.【答案】(2)单位正方体abcda1b1c1d1中，点b1到直线ac的距离为_【自主解答】建立坐标系如图，b1(1,1,1)，a(1,0,0)，c(0，1,0)，(1,1,0)，(0,1,1)，点b1到直线ac的距离为【答案】(3)已知四棱锥sabcd中，底面abcd为正方形，sd面abcd，且sdad1，则异面直线sb与ac的距离为_【导学号：32550051】【自主解答】以d为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(1,0,0)，c(0,1,0)，s(0,0,1)，b(1,1,0)，(1,1,0)，(1,1，1)设向量n(x，y，z)满足，即，令y1，可得n(1,1,2)在ac上取点a，在sb上取点b，(0,1,0)，所以异面直线sb与ac的距离d.【答案】1求a、b两点间的距离一般用|2用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：点p可以在直线l上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点直线l的方向向量可任意选取点到直线的距离公式中s0是单位向量，在求得直线l的方向向量s后，要将其单位化3异面直线间的距离如图，设n与异面直线a，b都垂直，a是直线a上任一点，b是直线b上任一点，则异面直线a，b的距离d.再练一题1线段ab在平面内，ac.bdab，且bd与所成角是30，如果aba，acbdb，求c、d间的距离【解】(1)当c，d在平面同侧时，由ac，可知acab，过d作dd1，d1为垂足，则dbd130，120.|2|2|2|2|2222b2a2b22b2cos 120a2b2，所以cd.(2)当c，d在平面异侧时，60.|2a23b2，即|，故cd或.点到平面的距离在正四棱柱abcdabcd中，底面边长为2，侧棱长为4，e，f分别是棱ab，bc的中点，求点d到平面bef的距离【精彩点拨】以点d为坐标原点建系，设法求出平面bef的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解【自主解答】建立如图所示的空间直角坐标系，则e(2，0)，f(，2，0)，b(2，2，4)，d(0,0,4)，所以(，0)，(0，4)设平面bef的法向量为n(x，y，z)，则，即，令y1，则n，(2，2，0)，点d到平面bef的距离d.求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：求出该平面的一个法向量；找出从该点出发与平面的任一条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离由于n0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的平面的斜线段对应的向量的数量积的绝对值，即d|n0|.再练一题2本例条件不变，求点a到平面bef的距离【解】由上题知平面bef的法向量n，(2，0)(2，0,0)(0，0)，a到平面bef的距离d.线面、面面距离如图262所示，在已知直四棱柱abcda1b1c1d1中，底面为直角梯形，abcd，且adc90，ad1，cd，bc2，aa12，e是cc1的中点求a1b1与平面abe的距离图262【精彩点拨】求a1b1与平面abe的距离，因为直线a1b1平行于平面abe，所以直线a1b1上任意一点到平面abe的距离相等，所以a1b1与平面abe的距离等于点a1到平面abe的距离，从而转化为点到平面的距离求解【自主解答】如图所示，以d为原点，以da、dc、dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a1(1,0,2)，a(1,0,0)，e(0，1)，过c作ab的垂线交ab于f，易得bf，b(1,2，0)，(0,2，0)，(1，1)设平面abe的法向量为n(x，y，z)，则由得y0，xz，不妨取n(1,0,1)直线a1b1平面abe，直线a1b1到平面abe的距离等于点a1到平面abe的距离(0,0,2)，a1b1到平面abe的距离为.1求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点可适当选取，以求解最为简单为准则，因线面距可用点面距求解，反之，求点到平面的距离时也可用直线到平面的距离过渡2两平行平面间的距离可转化为一个平面内的一点到另一个平面的距离，即转化为点到平面的距离再练一题3正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，求平面a1bd与平面b1cd1间的距离【导学号：32550051】【解】以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则a1(1,0,1)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，(0,1，1)，(1,0，1)，(1,0,0)设平面a1bd的一个法向量为n(x，y，z)，则令z1，得y1，x1，n(1,1,1)点d1到平面a1bd的距离d.平面a1bd与平面b1cd1间的距离等于点d1到平面a1bd的距离，平面a1bd与平面b1cd1间的距离为.探究共研型空间中的距离的求法探究1空间中的距离有几类？【提示】空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离探究2求点到平面的距离要注意什么？【提示】(1)求点到平面的距离除了向量法外还有一种常用的方法是等体积法(2)求点到平面的距离公式d|n0|中n0是单位法向量而不是法向量(3)求点到平面的距离的步骤可简化为：求平面的法向量；求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，paad4，ab2，以ac为直径的球面交pd于点m，交pc于点n，求点n到平面acm的距离【精彩点拨】以点a为坐标原点建系，求出点n的坐标和平面acm的法向量n，然后利用点到平面的距离公式求解【自主解答】分别以ab、ad、ap为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，p(0,0,4)，b(2，0,0)，c(2,4,0)，d(0,4,0)，由已知得ammc，可求得m(0,2,2)(2,4,0)，(0,2,2)，设平面acm的一个法向量n(x，y，z)，由n，n，可得令z1，则n(2，1,1)由已知得，annc，在rtpac中，pa2pnpc，pc6，所以pn，则ncpcpn，.n所以所求距离为点p到平面acm距离的，又点p到平面acm的距离为.所以点n到平面acm的距离为.向量法解探究题探究如何利用向量法解决垂直、平行、距离的探索题目？【提示】有关是否存在一点使得直线与平面之间满足垂直、平行或有关距离的探索性问题，解答时，先假设存在这样的点，建立空间直角坐标系，设出该点的坐标，由直线与平面的垂直、平行关系转化为直线的方向向量与平面的法向量的关系，利用向量坐标运算建立所求点坐标的方程，若方程有解，则点存在；否则，点不存在如图263所示，四棱锥pabcd中，pa面abcd，底面abcd是直角梯形，badabc90，paad2，abbc1，试问在线段pa上是否存在一点m，到平面pcd的距离为？若存在，试确定m点的位置；若不存在，请说明理由图263【自主解答】如图，建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，p(0,0,2)，c(1，1,0)，d(0,2,0)，设直线ap上有一点m(0,0，z0)，设平面pcd的一个法向量为n(x，y，z)，则由得令z1，得n(1,1,1)n0n.点m到面pcd的距离为d|n0|2z0|，d，可解得z03或z01.当z03时，m(0,0,3)在线段ap延长线上，故舍去；当z01时，m(0,0,1)是线段ap的中点综上可知，线段ap的中点到平面pcd的距离为.构建体系1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面外一点a到平面的距离，就是点a与平面内一点b所成向量的长度()(2)直线l平面，则直线l到平面的距离就是直线l上的点到平面的距离()(3)若平面，则两平面，的距离可转化为平面内某条直线到平面的距离，也可转化为平面内某点到平面的距离()【答案】(1)(2)(3)2已知向量n(1,0，1)与直线l垂直，且l经过点a(2，3,1)，则点p(4,3,2)到l的距离为()a.bc.d【解析】n(1,0，1)与直线l垂直，n的单位向量n0.又l经过点a(2,3,1)，(2,0,1)，在n上的投影：n0(2,0,1).点p到l的距离为.【答案】b3如图264，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是底面a1b1c1d1的中心，则o到平面abc1d1的距离是()图264a.bc.d【解析】以d为坐标原点，以da，dc，dd1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有d1(0,0,1)，d(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,1,0)，a1(1,0,1)，c1(0,1,1)因o为a1c1的中点，所以o，(0,1,0)，(1,0,1)，设平面abc1d1的法向量为n(x，y，z)，则有即取x1，则n(1,0,1)，o到平面abc1d1的距离为d.【答案】b4在坐标平面xoz内，与三点a(0,1,2)、b(2,0,1)、c(1,2,0)距离相等的点的坐标为_【导学号：