北师大版选修21 2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 教案 .doc

2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理1了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示(重点)2掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，会求向量的坐标(重点)3理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示，能够在具体问题中适当地选取基底能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角。(难点)知识点一 空间向量的标准正交分解与坐标表示在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴， 轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y， )，使得axiyj k.我们把axiyj k叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基(x，y， )叫作空间向量a的坐标，记作a(x，y， )，a(x，y， )叫作向量a的坐标表示在空间直角坐标系中，点p的坐标为(x，y， )，向量的坐标也是(x，y， )知识点二 投影 (1)一般地，若b0为b的单位向量，称ab0|a|cosa，b为向量a在向量b上的投影如图所示，向量a在向量b上的投影为om|a|cosa，b (2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影知识点三空间向量基本定理 (1)如果向量e1、e2、e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1、2、3，使得a1e12e23e3.(2)空间中不共面的三个向量e1、e2、e3叫作这个空间的一个基底，a1e12e23e3表示向量a关于基底e1、e2、e3的分解，e1、e2、e3都叫作基向量(3)当向量e1、e2、e3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解，当e1i，e2j，e3k时，a1e12e23e3叫作a的标准正交分解知识点四空间向量运算的坐标表示1空间向量运算的坐标表示设a(x1，y1， 1)，b(x2，y2， 2)，则：(1)ab(x1x2，y1y2， 1 2)，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和(2)ab(x1x2，y1y2， 1 2)，即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差(3)a(x1，y1， 1)(r)，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积(4)设a(x1，y1， 1)，b(x2，y2， 2)，则abx1x2y1y2 1 2.即，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和2空间向量的坐标与起点和终点坐标的关系：若a(x1，y1， 1)，b(x2，y2， 2)，则(x2x1，y2y1， 2 1)知识点五空间向量平行、垂直、长度、夹角的表示设a(x1，y1， 1)，b(x2，y2， 2)，则(1)若b0，则aba bx1x2，y1y2， 1 2(r)；(2)abab0x1x2y1y2 1 20.|a|.cosa，b.(a0，b0)考点一 空间向量的坐标表示例1(1)设i，j，k分别是x，y， 轴正方向上的单位向量，若a(3,7，2)则a关于i，j，k的分解式为 (2)设i，j，k是空间向量的一个单位的正交基底，a2i4j5k，bi2j3k，则向量a，b的坐标分别是 (3)已知在如图233所示的棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为d1c1，b1c1的中点，若以，为基底，则向量的坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 学 【名师指津】 k 1建立空间直角坐标系需根据图形性质，寻找三条两两垂直的直线建系时，通常建立右手直角坐标系2空间向量的坐标与其在标准正交基下的线性表示的关系是axiyj ka(x，y， )考点二 空间向量的投影例2如图 所示，已知单位正方体abcdabcd， (1)求向量在上的投影；(2)求向量在上的投影【名师指津】求向量a在向量b上的投影，通常有两种方法： 学 1利用投影的计算公式求，a在b上的投影为|a|cosa，b，亦为.2利用投影的几何意义求，如图，a在b上的投影为有向线段om的数量，正方向为向量b的方向例3.如图 ，四棱锥poabc的底面为一矩形，po平面oabc，设a，b，c，e，f分别是pc和pb的中点，试用a，b，c表示，.【名师指津】对于基底e1，e2，e3除了知道它们不共面外，还应明确：(1)用基底表示向量，要表示彻底，结果中只能含有e1，e2，e3不能含有其他形式的向量；(2)用e1，e2，e3表示向量，需要根据三角形法则，及平行四边形法则，结合相等向量的代换，向量的运算进行变形，化简；(3)基底一旦确定，所有向量的表示就唯一确定了练习1.如图236，空间四边形oabc中，g，h分别是abc，obc的重心，设a，b，c，试用向量a，b，c表示向量和.考点三 空间向量的坐标运算例3(1)已知a(2，1,3)，b(1,2，1)，则ab ， 2ab . (2)(2016南宁高二检测)已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值为 (3)已知a(1,0，1)，b(1，2,2)，c(2,3，1)，则ab2c .考点四 数量积的坐标运算 例4已知a(3,5，4)，b(2,1,8)，求(1)ab；(2)(2ab)(3ab) | |x|x|k【名师指津】空间向量数量积即将对应坐标乘积的求和，牢记运算公式是正确计算的关键练习1本例条件不变，求(ab)(ab)考点五 利用坐标运算解决长度和夹角问题例5已知空间三点a(0,2,3)，b(2,1,6)，c(1，1,5)，求以ab，ac为邻边的平行四边形的面积【名师指津】1空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解这体现了向量的工具作用引入坐标运算，可使解题过程程序化2平行四边形面积的计算公式：sabcd.练习2已知空间三点a(2,0,2)，b(1,1,2)，c(3,0,4)(1)求cosbac；(2)求abc中bc边上中线的长度考点六 坐标形式下的平行与垂直问题例6已知空间三点a(2,0,2)、b(1,1,2)、c(3,0,4)设a，b. | |x|x|k (1)设|c|3，c，求c；(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.【名师指津】向量平行与垂直问题主要有以下两种类型：一是判断平行与垂直；一是利用平行与垂直求参数或其他问题解决这种问题时要注意：适当引入参数参与运算；建立关于参数的方程；准确运算练习3设a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k；(2)若(kab)(a3b)，求k.课堂练习1在以下3个命题中，真命题的个数是()三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；若a，b是两个不共线向量，而cab(，r且0)，则a，b，c构成空间的一个基底a0 b1 c2 d32若向量a、b、c是空间的一个基底，向量mab，nab，那么可以与m、n构成空间的另一个基底的向量是() aa bb cc d2a3o，a，