北师大版选修21 2.3 充要条件 学案.docx

2.3充要条件学习目标1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.知识点一充要条件一般地，如果既有pq，又有qp 就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件.思考(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？答案(1)正确.若p是q的充要条件，则pq，即p等价于q，故此说法正确.(2)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.知识点二常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p与q的关系真真p是q的充要条件q是p的充要条件真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件知识点三从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若ab，则p是q的充分条件，若ab，则p是q的充分不必要条件若ba，则p是q的必要条件，若ba，则p是q的必要不充分条件若ab，则p，q互为充要条件若ab且ba，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：ax|p(x)成立，q：bx|q(x)成立.题型一充要条件的判断例1(1)“x1”是“x22x10”的()a.充要条件b.充分而不必要条件c.必要而不充分条件d.既不充分也不必要条件答案a解析解x22x10得x1，所以“x1”是“x22x10”的充要条件.(2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？在abc中，p：ab，q：sin asin b；若a，br，p：a2b20，q：ab0；p：|x|3，q：x29.解在abc中，显然有absin asin b，所以p是q的充要条件.若a2b20，则ab0，即pq；若ab0，则a2b20，即qp，故pq，所以p是q的充要条件.由于p：|x|3q：x29，所以p是q的充要条件.反思与感悟判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断pq及qp这两个命题是否成立.若pq成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若qp成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件.(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断pq及qp的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.跟踪训练1(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是()a.ab0 b.ab0c.a2b20 d.a2b20答案d解析a2b20，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2b20.(2)“函数yx22xa没有零点”的充要条件是_.答案a1解析函数没有零点，即方程x22xa0无实根，所以有44a0，解得a1.反之，若a1，则0，方程x22xa0无实根，即函数没有零点.故“函数yx22xa没有零点”的充要条件是a1.题型二充要条件的证明例2求证：方程x2(2k1)xk20的两个根均大于1的充要条件是k2.证明必要性：若方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则即解得k2.充分性：当k0.设方程x2(2k1)xk20的两个根为x1，x2.则(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0.又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10，x110，x210.x11，x21.综上可知，方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根的充要条件为k0，yy，则p是q的_条件.答案充要解析当x0，yy且成立，当xy且时，得所以p是q的充要条件.1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：p是q的充要条件，则由pq证的是充分性，由qp