高考大一轮总复习10.1随机抽样

第十章统计与统计案例 10.1随机抽样考纲展示1.理解随机抽样的必要性和重要性2会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样考点1简单随机抽样1.定义：设一个总体含有N个个体，从中_抽取n个个体作为样本(nN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都_，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样答案：逐个不放回地相等2最常用的简单随机抽样的方法：_和_答案：抽签法随机数法(1)教材习题改编在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是()A总体B个体C样本的容量D从总体中抽取的一个样本答案：A解析：由题目条件知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.(2)教材习题改编2017年1月6日8日某重点中学在毕业班进行了一次模拟考试，为了了解全年级1 000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，下面说法：1 000名学生是总体；每名学生是个体；1 000名学生的成绩是一个个体；样本的容量是100.其中正确的序号是_答案：解析：1 000名学生的成绩是总体，每名学生的成绩是个体，被抽取的100名学生的成绩是一个样本，其样本的容量是100.频数问题：频数样本容量频率2017湖北武汉武昌区模拟已知某地区中小学生人数和近视情况如下表所示.年级人数近视率小学3 50010%初中4 50030%高中2 00050%为了解该地区中小学生近视形成的原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则：(1)样本容量为_；(2)抽取的高中生中，近视的人数为_答案：(1)200(2)20解析：由题意可得，总人数为10 000，因为抽取2%的学生进行调查，所以样本容量为10 0002%200，则抽取的高中生有20040，其中近视的人数为4050%20.典题1(1)老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是()A随机抽样 B分层抽样C系统抽样 D以上都不是答案C解析因为抽取学号是以5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样(2)总体由编号为01,02，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()A.08 B07C02 D01答案D解析从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号为01.(3)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有_(填序号)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛答案解析不是简单随机抽样因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的不是简单随机抽样因为它是有放回抽样不是简单随机抽样因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取不是简单随机抽样因为不是等可能抽样点石成金1.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法2在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去考点2系统抽样系统抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成_的几个部分，然后按照_的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样(也称为机械抽样)(2)适用范围：适用于_很多且_总体抽样答案：(1)均衡事先确定(2)元素个数均衡的(1)教材习题改编为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为()A13 B19C20 D51答案：C解析：抽样间隔为463313，故另一位同学的编号为71320，故选C.(2)教材习题改编为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用系统抽样的方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是_(填序号)5,10,15,20,25 2,4,8,16,321,2,3,4,5 7,17,27,37,47答案：解析：利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取1个，号码间隔为10.只有正确.典题2(1)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A50 B40C25 D20答案C解析由系统抽样的定义知，分段间隔为25.(2)2017东北三省哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考将高一九班参加社会实践编号为1,2,3，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号、29号、41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是_答案17解析根据系统抽样的概念，所抽取的4个样本的编号应成等差数列，因为在这组数中的间距为412912，所以所求的编号为51217.点石成金解决系统抽样问题的两个关键步骤(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了考点3分层抽样分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体_的层，然后按照_，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样(2)分层抽样的应用范围：当总体是由_几个部分组成时，往往选用分层抽样答案：(1)分成互不交叉一定的比例(2)差异明显的(1)教材习题改编一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则应抽取男运动员_人答案：16解析：设应抽取男运动员x人，则，解得x16.(2)教材习题改编某校高一年级有900名学生，其中女生400名按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_答案：25解析：由题意知，男生共有500名，根据分层抽样的特点，在容量为45的样本中男生应抽取的人数为4525.分层抽样：差异明显；按比例抽样某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为k53，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A种型号的产品共抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为_答案：36解析：A，B，C三种产品的数量之比依次为k53，由，解得k2，则C种型号产品抽取的件数为12036.典题3(1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 300A.90 B100 C180 D300答案C解析设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点，得，故x180.(2)2017云南统一复习检测某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，3位持“一般 ”态度那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数为()A36 B30 C24 D18答案A解析设持“不喜欢”态度的有x人，则持“一般”态度的有(x12)人按分层抽样方法，可得.解得x6.持“喜欢”态度的有6636(人)故选A.点石成金进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)；(2)总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比.方法技巧三种抽样方法中简单随机抽样是最基本的抽样方法，是其他两种方法的基础，适用范围不同，要根据总体的具体情况选用不同的方法；它们的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性，若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每一个个体被抽到的概率都是.易错防范应用分层抽样应遵循的三点：(1)分层，将相似的个体归为一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即不重复不遗漏(2)分层保证每个个体等可能被抽取，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等(3)若各层应抽取的个体数不都是整数，则应当调整样本容量，先剔除“多余”的个体 真题演练集训 12016山东卷某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A56 B60 C120 D140答案：D解析：由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04)2.50.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为2000.7140.故选D.22015湖北卷我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A134石 B169石 C338石 D1 365石答案：B解析：设1 534石米内夹谷x石，则由题意知，解得x169.故这批米内夹谷约为169石32015新课标全国卷根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案：D解析：对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D.42014天津卷某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4556，则应从一年级本科生中抽取_名学生答案：60解析：设应从一年级本科生中抽取x名学生，则，解得x60.52015湖南卷在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是_答案：4解析：对数据进行分组，在区间139,151上，有几组就有几个运动员3575，因此可将编号为135的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间139,151上共有20个数据，分在4个小组中，每组取一人，共取4人 课外拓展阅读 分层抽样与其他知识的综合分层抽样是历年高考的重要考点之一，高考中常把分层抽样、频率分布、概率综合起来进行考查，反映了当前高考的命题方向，这类试题难度不大，但考查的知识面较为宽广，在解题中要注意准确使用所学知识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误典例1从1,2，500这500个号中用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，已知样本中最小号为15，从样本中随机抽出3个号，至少有两个号能被3整除的抽法种数为()A60 B40 C120 D36思路分析先根据系统抽样的定义求出样本间隔，然后根据排列组合进行求解即可解析样本间隔为5001050，若样本中最小号为15，则抽取的样本号满足an1550(n1)50n35(nN*)对应的号码为15,65,115,165,215,265,315,365,415,465，其中不能够被3整除的号码为65,115,215,265,365,415，有6个，能被3整除的号码有4个从样本中随机抽出3个号，有两个号能被3整除的抽法种数为CC36，有3个号能被3整除的抽法种数为C4.则至少有两个号能被3整除的抽法种数为36440.答案B典例2某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：学历35岁以下3550岁50岁以上本科803020研究生x20y(1)用分层抽样的方法在3550岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x，y的值思路分析 解(1)用分层抽样的方法在3550岁年龄段的专业技术人中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，所以，解得m3.抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)所以从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为.(2)由题意，得，解得N78.所以3550岁中被抽取的人数为78481020，所以，解得x40，y5.即x，y的值分别为40,5.温馨提示分层抽样与概率结合的题目多与实际问题紧密联系，计算量和阅读量都比较大，且会有图表，求解时容易造成失误，平时需注意多训练此类型的题目课时跟踪检测(五十七) 高考基础题型得分练12017陕西西工大附中模拟训练某班级有男生20名，女生30名，从中抽取10名作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题正确的是()A这次抽样可能采用的是简单随机抽样B这次抽样一定没有采用系统抽样C这次抽样中每名女生被抽到的概率大于每名男生被抽到的概率D这次抽样中每名女生被抽到的概率小于每名男生被抽到的概率答案：A解析：利用排除法求解这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为120，女生编号为2150，间隔为5，依次抽取1号，6号，46号便可，B错误；这次抽样中每名女生被抽到的概率等于每名男生被抽到的概率，C和D均错误，故选A.2某学校为了了解某年高考数学的考试成绩，在高考后对该校1 200名考生进行抽样调查，其中有400名文科考生，600名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽取120名考生作为样本，记这项调查为；从10名家长中随机抽取3名参加座谈会，记这项调查为，则完成，这两项调查宜采用的抽样方法依次是()A分层抽样法，系统抽样法B分层抽样法，简单随机抽样法C系统抽样法，分层抽样法D简单随机抽样法，分层抽样法答案：B解析：在中，文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，采用分层抽样法较好；在中，抽取的样本个数较少，宜采用简单随机抽样法32017海南海口一模假设要考察某企业生产的袋装牛奶质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500袋牛奶按000,001，499进行编号，如果从随机数表(下面摘取了随机数表第7行至第9行)第8行第4列的数开始按三位数连续向右读取，则依次写出最先检测的5袋牛奶的编号分别为()A.163,198,175,128,395 B163,199,175,128,395C163,199,175,128,396 D163,199,175,129,395答案：B解析：随机数表第8行第4列的数是1，从1开始读取：163 785 916 955 567 199 810 507 175 128 673 580 744 395.标波浪线的5个即是所取编号4将参加夏令营的600名学生按001,002，600进行编号采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第营区，从301到495在第营区，从496到600在第营区，三个营区被抽中的人数依次为()A26,16,8 B25,17,8C25,16,9 D24,17,9答案：B解析：由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(kN*)组抽中的号码是312(k1)令312(k1)300，得k，因此第营区被抽中的人数是25；令300312(k1)495，得k42，因此第营区被抽中的人数是422517；第营区被抽中的人数为5025178.5采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷A，编号落入区间451,750的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为()A7 B9 C10 D15答案：C解析：由题意知，应将960人分成32组，每组30人设每组选出的人的号码为30k9(k0,1，31)由45130k9750，解得k，又kN，故k15,16，24，共10人6某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查现将800名学生从1到800进行编号已知从3348这16个数中取的数是39，则在第1小组116中随机抽到的数是()A5 B7 C11 D13答案：B解析：间隔数k16，即每16人抽取一个人由于392167，所以第1小组中抽取的数为7.故选B.7为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180,270,90名教师，则从C学校中应抽取的人数为()A10 B12 C18 D24答案：A解析：根据分层抽样的特征，从C学校中应抽取的人数为6010.8从2 007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从2 007名学生中剔除7名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率()A不全相等 B均不相等C都相等，且为 D都相等，且为答案：C解析：从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于.9某学校对该校参加第二次模拟测试的2 100名考生的数学学科的客观题解答情况进行抽样调查，可以在每个试题袋中抽取一份(每考场的人数为30)，则采取_抽样方法抽取一个容量为_的样本进行调查较为合适答案：系统70解析：因为样本容量较大，且考生情况按照每考场抽取没有明显的层次性，又70，所以可以采用系统抽样的方法抽取一个容量为70的样本10某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号150号，并分组，第一组15号，第二组610号，第十组4650号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为_的学生答案：37解析：因为12522，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学所以第8组中抽出的号码为57237.11.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1200编号为40组，分别为15,610，196200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为_若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取_人答案：3720解析：将1200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为223537；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为20050%100，设在40岁以下年龄段中抽取x人，则，解得x20.12一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与mk的个位数字相同，若m8，则在第8组中抽取的号码是_答案：76解析：由题意知，m8，k8，则mk16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为817，故抽取的号码为76.冲刺名校能力提升练1某校2017届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720的人数为()A11 B12 C13 D14答案：B解析：使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人所以从编号1480的人中，恰好抽取24(人)，接着从编号481720共240人中抽取12(人)2从一个容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同的方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()Ap1p2p3 Bp2p3p1Cp1p3p2 Dp1p2p3答案：D解析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，所以p1p2p3.3从编号为001,002，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为()A480 B481 C482 D483答案：C解析：根据系统抽样的定义可知，样本的编号成等差数列，令a17，a232，d25，所以725(n1)500，所以n20，最大编号为72519482.4某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；11,38