北师大版选修11 §1 命　题 学案.docx

学习目标1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式.3.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.4.会判断四种命题的真假.知识点一命题的定义(1)用文字或符号表述的，可以判断真假的语句叫作命题.(2)判断为真的语句叫作真命题.(3)判断为假的语句叫作假命题.思考(1)“x5”是命题吗？(2)陈述句一定是命题吗？答案(1)“x5”不是命题，因为它不能判断真假.(2)陈述句不一定是命题，因为不知真假.只有可以判断真假的陈述句才叫作命题.知识点二命题的结构从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中，命题常写成“若p，则q”的形式.通常，我们把这种形式的命题中的p叫作命题的条件，q叫作命题的结论.知识点三四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题.其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题.(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫作互否命题.其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的否命题.(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫作互为逆否命题.其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的逆否命题.知识点四四种命题间的关系及真假判断(1)四种命题间的关系(2)四种命题的真假判断原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假.原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假.原命题为真，它的逆否命题一定为真.互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假.题型一命题的判断例1(1)下列语句为命题的是()a.x10 b.238c.你会说英语吗？d.这是一棵大树(2)下列语句为命题的有_.一个数不是正数就是负数；梯形是不是平面图形呢？22 015是一个很大的数；4是集合2,3,4的元素；作abcabc.答案(1)b(2)解析(1)a中x不确定，x10的真假无法判断；b中238是命题，且是假命题；c不是陈述句，故不是命题；d中“大”的标准不确定，无法判断真假.(2)是陈述句，且能判断真假；不是陈述句；不能断定真假；是陈述句且能判断真假；不是陈述句.反思与感悟并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的语句才是命题.命题首先一般是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：是否为陈述句；能否判断真假.跟踪训练1判断下列语句是不是命题.(1)求证是无理数；(2)x22x10；(3)你是高二学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果；(5)一个正整数不是质数就是合数；(6)若xr，则x24x70；(7)x30.解(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题.题型二四种命题及真假判断例2(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是_，q是_.答案一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.已知x，y为正整数，当yx1时，y3，x2；当abc0时，a0且b0且c0.解已知x，y为正整数，若yx1，则y3，x2，假命题.若abc0，则a0且b0且c0，假命题.反思与感悟把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不惟一.跟踪训练2指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假.(1)若四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分；(2)若a0，b0，则ab0；(3)面积相等的三角形是全等三角形.解(1)条件p：四边形是平行四边形，结论q：四边形的对角线互相平分.真命题.(2)条件p：a0，b0，结论q：ab0.真命题.(3)条件p：两个三角形面积相等，结论q：它们是全等三角形.假命题.题型三四种命题的关系例3下列命题：“若xy1，则x、y互为倒数”的逆命题；“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；“梯形不是平行四边形”的逆否命题；“若ac2bc2，则ab”的逆命题.其中是真命题的是_.答案解析“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy1”，是真命题；“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；“若ac2bc2，则ab”的逆命题是“若ab，则ac2bc2”，是假命题.所以真命题是.反思与感悟要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.跟踪训练3下列命题为真命题的是()“正三角形都相似”的逆命题；“若m0，则x22xm0有实根”的逆否命题；“若x是有理数，则x是无理数”的逆否命题.a.b.c.d.答案b解析原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题.原命题的逆否命题为“若x22xm0无实根，则m0”.方程无实根，判别式44m0，m1，即m0成立，故为真命题.原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x不是有理数”.x不是无理数，x是有理数.又是无理数，x是无理数，不是有理数，故为真命题.正确的命题为，故选b.题型四等价命题的应用例4判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集是空集，则a0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真.反思与感悟因为原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以我们可以利用这一点，通过证明原命题的逆否命题的真假性来肯定原命题的真假性.这种证明方法叫作逆否证法，它也是一种间接的证明方法.跟踪训练4判断命题“若m0，则方程x22x3m0有实数根”的逆否命题的真假.解m0，方程x22x3m0的判别式12m40.原命题“若m0，则方程x22x3m0有实数根”为真.又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m0，则方程x22x3m0有实数根”的逆否命题也为真.四种命题例5将“当a0时，函数yaxb的值随x值的增大而增大”写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题.错解原命题：若a0，则函数yaxb的值随x值的增大而增大.逆命题：若函数yaxb的值随x值的增大而增大，则a0.错因分析对命题的条件与大前提条件把握不好.解原命题：当a0时，若x值增大，则函数yaxb的值也随着增大.逆命题：当a0时，若函数yaxb的值增大，则x值也增大.1.下列命题是真命题的是()a.若a24，则a2 b.若ab，则c.若，则abd.若ab，则a2b2答案c解析判断是假命题，只需举反例，用排除法，得到正确选项.由a24得a2，排除a；取ab1，排除b；212，排除d.故选c.2.命题“若aa，则bb”的否命题是()a.若aa，则bbb.若aa，则bbc.若bb，则aad.若bb，则aa答案b解析命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“”与“”互为否定形式.3.命题“若aba，则abb”的逆否命题是()a.若abb，则abab.若aba，则abbc.若abb，则abad.若abb，则aba答案c解析注意“aba”的否定是“aba”.4.命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是_，它是_命题(填“真”或“假”).答案若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线假5.给出以下命题：“若a，b都是偶数，则ab是偶数”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若m0，则x2xm0有实根”的逆否命题.其中为真命题的是_.答案解析否命题是“若a，b不都是偶数，则ab不是偶数”.假命题.逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假