北师大版选修21 3. 2.2　抛物线的简单性质 课件（38张）.pptx

2 2抛物线的简单性质 第三章 2抛物线 学习目标1 了解抛物线的范围 对称性 顶点 焦点 准线等性质 2 会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一抛物线的性质 思考观察下列图形 思考以下问题 1 观察焦点在x轴上的抛物线与椭圆的图形 分析其几何图形存在哪些区别 答案抛物线与椭圆相比较 有明显的不同 椭圆是封闭曲线 有四个顶点 有两个焦点 有中心 抛物线只有一条曲线 一个顶点 一个焦点 无中心 2 根据图形及抛物线方程y2 2px p 0 如何确定横坐标x的范围 梳理四种形式的抛物线的简单性质 知识点二直线与抛物线的位置关系 直线y kx b与抛物线y2 2px p 0 的交点个数决定于关于x的方程组的解的个数 即二次方程k2x2 2 kb p x b2 0的解的个数 当k 0时 若 0 则直线与抛物线有个不同的公共点 若 0 直线与抛物线有个公共点 若 0 直线与抛物线公共点 当k 0时 直线与抛物线的轴 此时直线与抛物线有个公共点 一 两 没有 平行或重合 1 知识点三焦点弦的性质 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点f的直线交抛物线于a b两点 设a x1 y1 b x2 y2 则有 1 y1y2 x1x2 2 ab af x1 3 以ab为直径的圆与抛物线的准线 p2 x1 x2 p 相切 思考辨析判断正误 1 抛物线的图像关于点 0 0 对称 2 抛物线没有渐近线 3 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p 4 若一条直线与抛物线只有一个公共点 则二者一定相切 5 直线与抛物线有一个交点 是 直线与抛物线相切 的必要不充分条件 题型探究 类型一抛物线方程及其性质 答案 解析 例1 1 顶点在原点 对称轴为y轴 顶点到准线的距离为4的抛物线方程是a x2 16yb x2 8yc x2 8yd x2 16y 解析顶点在原点 对称轴为y轴的抛物线方程有两个 x2 2py x2 2py p 0 由顶点到准线的距离为4 知p 8 故所求抛物线方程为x2 16y或x2 16y 2 顶点在原点 经过点 6 且以坐标轴为对称轴的抛物线方程是 答案 解析 反思与感悟求抛物线的标准方程的关键与方法 1 关键 确定焦点在哪条坐标轴上 进而求方程的有关参数 2 方法 定义法 根据定义求p 最后写标准方程 待定系数法 设标准方程 列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当坐标系 利用抛物线的定义列出动点满足的条件 列出对应方程 化简方程 跟踪训练1已知抛物线的焦点f在x轴上 直线l过f且垂直于x轴 l与抛物线交于a b两点 o为坐标原点 若 oab的面积等于4 求此抛物线的标准方程 解答 解由题意 可设抛物线方程为y2 2ax a 0 ab 2 a 类型二焦点弦问题 例2已知直线l经过抛物线y2 6x的焦点f 且与抛物线相交于a b两点 1 若直线l的倾斜角为60 求 ab 的值 解答 解因为直线l的倾斜角为60 消去y得4x2 20 x 9 0 2 若 ab 9 求线段ab的中点m到准线的距离 解答 解设a x1 y1 b x2 y2 所以x1 x2 6 于是线段ab的中点m的横坐标是3 反思与感悟抛物线定义的两种应用 1 实现距离转化 根据抛物线的定义 抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离 因此 由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化 从而简化某些问题 2 解决最值问题 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时 往往用抛物线的定义进行转化 即化折线为直线解决最值问题 解答 跟踪训练2如图 斜率为的直线l经过抛物线y2 2px的焦点f 1 0 且与抛物线相交于a b两点 1 求该抛物线的标准方程和准线方程 所以抛物线的标准方程为y2 4x 其准线方程为x 1 解答 2 求线段ab的长 消去y 整理得4x2 17x 4 0 由抛物线的定义可知 解设a x1 y1 b x2 y2 类型三直线与抛物线位置关系 例3 1 过点p 0 1 与抛物线y2 x有且只有一个交点的直线有a 4条b 3条c 2条d 1条 解析当直线垂直于x轴时 满足条件的直线有1条 当直线不垂直于x轴时 满足条件的直线有2条 故选b 答案 解析 2 已知直线l y kx 1 抛物线c y2 4x 当k为何值时 l与c 只有一个公共点 有两个公共点 没有公共点 解答 得k2x2 2k 4 x 1 0 此时直线l平行于x轴 当k 0时 式是一个一元二次方程 2k 4 2 4k2 16 1 k 当 0 即k 1 且k 0时 l与c有两个公共点 此时直线l与c相交 当 0 即k 1时 l与c有一个公共点 此时直线l与c相切 当 0 即k 1时 l与c没有公共点 此时直线l与c相离 综上所述 当k 1或0时 l与c有一个公共点 当k 1 且k 0时 l与c有两个公共点 当k 1时 l与c没有公共点 反思与感悟设直线l y kx b 抛物线 y2 2px p 0 将直线方程与抛物线方程联立消元得 k2x2 2kb 2p x b2 0 1 若k2 0 此时直线与抛物线有一个交点 该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合 2 若k2 0 当 0时 直线与抛物线相交 有两个交点 当 0时 直线与抛物线相切 有一个交点 当 0时 直线与抛物线相离 无公共点 跟踪训练3 1 已知直线y kx k和抛物线y2 2px p 0 则a 直线和抛物线有一个公共点b 直线和抛物线有两个公共点c 直线和抛物线有一个或两个公共点d 直线和抛物线可能没有公共点 答案 解析 解析 直线y kx k过定点 1 0 当k 0时 直线与抛物线有一个公共点 当k 0时 直线与抛物线有两个公共点 2 已知直线x y 1 0与抛物线y ax2相切 则a 答案 解析 达标检测 答案 1 已知抛物线的对称轴为x轴 顶点在原点 焦点在直线2x 4y 11 0上 则此抛物线的方程是a y2 11xb y2 11xc y2 22xd y2 22x 1 2 3 4 5 解析 设抛物线方程为y2 2px p 0 抛物线的方程是y2 22x 故选c 答案 1 2 3 4 5 2 已知点a 2 3 在抛物线c y2 2px的准线上 记c的焦点为f 则直线af的斜率为 解析 1 2 3 4 5 且点a 2 3 在准线上 所以y2 8x 所以焦点f的坐标为 2 0 3 若抛物线y2 2px p 0 上三个点的纵坐标的平方成等差数列 那么这三个点到抛物线焦点f的距离的关系是a 成等差数列b 既成等差数列又成等比数列c 成等比数列d 既不成等比数列也不成等差数列l 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析设三点为p1 x1 y1 p2 x2 y2 p3 x3 y3 所以x1 x3 2x2 所以 p1f p3f 2 p2f 答案 解析 1 2 3 4 5 4 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点f作倾斜角为45 的直线交抛物线于a b两点 若线段ab的长为8 则p 解析设点a b的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点f 2 ab x1 x2 p 3p p 4p 8 p 2 1 2 3 4 5 5 已知圆c x2 y2 6x 8y 21 0 抛物线y2 8x的准线为l 设抛物线上任一点p到直线l的距离为m 则m pc 的最