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文档简介

2.5 空间向量夹角的计算1能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题(重点)2体会向量方法在研究立体几何问题中的作用(难点) 学 知识点一 直线间的夹角 学 设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2. + +k 知识点二 平面间的夹角 (1)平面间夹角的概念如图，平面1和2相交于直线l，点r为直线l上任意一点，过点r，在平面1上作直线l1l，在平面2上作直线l2l，则l1l2r，我们把直线l1和l2的夹角叫作平面1与2的夹角 (2)平面间夹角的求法设平面1与2的法向量分别为n1与n2.当0n1，n2时，平面1与2的夹角等于n1，n2；当n1，n2时，平面1与2的夹角等于n1，n2事实上，设平面1与平面2的夹角为，则cos |cosn1，n2|. 学 知识点三 直线与平面的夹角设直线l的方向向量为s，平面的法向量为n，直线l与平面的夹角为. 学 考点一 直线间的夹角例1.如图所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd是一直角梯形，bad90，adbc，abbca，ad2a，且pa底面abcd，pda30，aepd，e为垂足 (1)求证：bepd；(2)求异面直线ae与cd夹角的余弦值【名师指津】1建立恰当的空间直角坐标系，准确求出相关点的坐标是解决这类题的关键2求线线夹角时，应注意线线夹角范围为，所以若求得余弦值为负数，则线线夹角为其补角练习1已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，e是aa1的中点，则异面直线d1c与be所成角的余弦值为()a. b c. d考点二 平面间的夹角例2如图 ，直四棱柱abcda1b1c1d1，底面abcd是菱形，adaa1，dab60，f为棱aa1的中点求平面bfd1与平面abcd所成的二面角的大小【名师指津】求两平面的夹角有两种方法：(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角也可转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为n1，n2或n1，n2.练习2.如图 所示，在底面为直角梯形的四棱锥sabcd中，abc90，sa平面abcd， saabbc1，ad，求平面s cd与平面sab所成二面角的正切值考点三 直线与平面的夹角例3正三棱柱abca1b1c1的底面边长为a，侧棱长为a，求ac1与侧面abb1a1所成的角【名师指津】计算直线l与平面的夹角为的方法有：(1)利用法向量计算的步骤如下：(2)利用定义计算的步骤如下：练习3把本例条件改为“侧棱与底面边长相等”，求ab1与侧面acc1a1所成角的正弦值例4如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，
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