集合的含义与表示.doc

集合的含义与表示主讲：黄冈中学教师 汤彩仙一、知识概述1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N，（3）整数集：全体整数的集合记作Z，（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q，（5）实数集：全体实数的集合记作R，注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N*或NQ、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3、集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：xA| P（x）含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合（3）文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、元素与集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作5、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）（3）互异性：集合中的元素不能重复6、点集与数集点集：平面直角坐标系中的点组成的集合是点集；数集：数轴上的点组成的集合是数集7、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合记作，如：二、例题讲解例1、设集合G中的元素是所有形如ab（aZ，bZ）的数，求证：（1）当xN时，xG；（2）若xG，yG，则xyG，而不一定属于集合G证明：（1）在ab（aZ， bZ）中，令a=xN，b=0，则x= x0= abG，即xG（2）xG，yG，x= ab（aZ，bZ），y= cd（cZ， dZ）xy=( ab)( cd)=(ac)(bd)aZ，bZ，cZ，dZ(ac)Z，(bd)Zxy =(ac)(bd)G，又且不一定都是整数，不一定属于集合G例2、用列举法表示下列集合（1）A=x|x=|x|，xZ，且x5；（2）B=(x，y)|xy=6，xN*，yN*；（3）a，b为非零实数；（4）分析：（1）根据x的范围解方程；（2）求不定方程xy=6的正整数解；（3）根据绝对值的意义化简；（4）所求的x要满足两个条件：x是正整数，x使是整数解：（1）x=|x|，x0，又xZ且x5，x=0，1，2，3，4，x|x=|x|，xZ且x5用列举法表示为：0，1，2，3，4；（2）B=（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）；（3）当a0，b0时，x=2；当a0，b0时，x=2；当a，b异号时，x=0，C=2，0，2；（4）由题意知3x是6的约数，3x=1，2，3，6，所以x=0，3，1，2，4，5，6，9，又xN*，D=1，2，4，5，6，9说明：使用列举法时，应注意以下四点：元素间用分隔号“，”；元素不重复；不考虑元素顺序；对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号例3、已知集合A=x|ax23x2=0，aR（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来分析：首先要明确，集合A是关于x的方程ax23x2=0（aR）在实数集内的解的集合（1）方程无解；（2）方程有且只有一解解：（1）A是空集，关于x的方程ax23x2=0（aR）无实数解解得；（2）集合A中只有一个元素，关于x的方程ax23x2=0（aR）有且只有一解，若a=0，则原方程变为3x2=0，只有一解；若a0，则方程有两相等实根，=(3)28a=0，解得a=0或时，A中只有一个元素例4、数集A满足条件：若aA，a1，则，证明：（1）若2A，则集合A中还有另外两个元素；（2）若aR，则集合A不可能是单元素集分析：反复利用题设：若aA，a1，则，注意角色转换，单元素集指集合中只有一个元素证明：（1）2A，于是，而，A中还有1，两个元素（2）假设A是单元素集，则必有，即a2a1=0=(1)2411=30，方程没有实数解，故假设不成立，A不可能是单元素集例5、已知集合，其中aR（1）若5是集合A中的一个元素，求a的值（2）是否存在实数a，使