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5 1直线间的夹角 一 自主预习1 已知向量a 0 2 1 b 1 1 2 则a与b的夹角为 2 共面直线的夹角当两条直线l1与l2共面时 我们把两条直线交角中 范围在 内的角叫作两直线的夹角 如图1所示 图1 3 异面直线的夹角当直线l1与l2是异面直线时 在直线l1上任取一点a作ab l2 我们把直线l1和直线ab的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角 如图2 它的取值范围是 图2 4 空间直线夹角的求解空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定 如图3 图3 s1 s2 例题1使用了什么方法求异面直线夹角的余弦值 在求解时要注意什么问题 二 自主探究1 自主学习教材中的例1 如图 在空间直角坐标系中有长方体abcd a b c d 已知ab 2 bc 1 aa 3 求对角线ac 与侧面对角线a d的夹角的余弦值 点评 求线线夹角时应注意线线夹角的范围为 0 所以若求得余弦值为负数 则线线夹角为其补角 所以求完后一定要说明 变式训练 在长方体abcd a1b1c1d1中 已知ab 4 ad 3 aa1 2 e f分别是线段ab bc上的点 且eb fb 1 求直线ec1与fd1所成角的余弦值 解 如图 以d为原点 分别以da dc dd1所在的直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则e 3 3 0 f 2 4 0 d1 0 0 2 c1 0 4 2 变式训练 2 已知三棱锥s abc中 底面abc为边长等于2的等边三角形 sa垂直于底面abc sa d为sa的中点 那么直线bd与直线sc的夹角的大小为 45 解析 建立如图所示的空间直角坐标系a xyz a 0 0 0 b 1 0 c 0 2 0 d 0 0 s 0 0 1 0 2 2 cos bd与sc的夹角为45 失误防范求两直线间的夹角时 应注意它的取值范围是 0 从而求出角 或三角函数值 思考交流 如图所示 矩形abcd的边ab a bc 2 pa 平面abcd pa 2 现有数据 a a 1 a a 2 a 4 当在bc边上存在点q 使pq qd时 a可以取所给数据中的哪些值 请说明理由 解 如图 以ab所在直线为x轴 ad所在直线为y轴 ap所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 则p 0 0 2 d 0 2 0 设bq x 则x在 0 2 q a x 0 a x 2 0 a x 2 因为pq qd 所以0 a 1 所以当在bc边上存在点q时 a可以取1或 关键 建立空间直角坐标系利用向量求解有关问题 内容 直线间的夹角的定义 用向量求直线间的夹角
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