北师大版选修21 3.1双曲线及其标准方程 学案.docx

3.1双曲线及其标准方程学习目标1.掌握双曲线的定义.2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.知识点一双曲线的定义把平面内到两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于常数(大于零且小于|f1f2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距.知识点二双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点f1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)焦距|f1f2|2ca、b、c的关系c2a2b2思考(1)双曲线定义中，将“小于|f1f2|”改为“等于|f1f2|”或“大于|f1f2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之差等于|f1f2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是f1、f2，当距离之差大于|f1f2|时，动点的轨迹不存在.(2)a，b的值及焦点所在的位置.知识点三双曲线与椭圆的比较双曲线、椭圆的标准方程及它们之间的区别与联系：椭圆双曲线定义|mf1|mf2|2a(2a|f1f2|)|mf1|mf2|2a(02ab0)1(a0，b0)焦点在y轴上1(ab0)1(a0，b0)题型一求双曲线的标准方程例1根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)经过点p(3，)，q(，5)；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上.解(1)方法一若焦点在x轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，由于点p(3，)和q(，5)在双曲线上，所以解得 (舍去).若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将p、q两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为1.综上，双曲线的标准方程为1.方法二设双曲线方程为1(mn0，b0).则有解得所求双曲线的标准方程为y21.方法二焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中06).双曲线经过点(5,2)，1，5或30(舍去).所求双曲线的标准方程是y21.反思与感悟求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0，b0)，将点(4，2)和(2，2)代入方程得解得a28，b24，所以双曲线的标准方程为1.题型二双曲线定义的应用例2若f1，f2是双曲线1的两个焦点.(1)若双曲线上一点m到它的一个焦点的距离等于16，求点m到另一个焦点的距离；(2)如图，若p是双曲线左支上的点，且|pf1|pf2|32，试求f1pf2的面积.解双曲线的标准方程为1，故a3，b4，c5.(1)由双曲线的定义得|mf1|mf2|2a6，又双曲线上一点m到它的一个焦点的距离等于16，假设点m到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22.故点m到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|pf2|pf1|2a6两边平方得|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|36，|pf1|2|pf2|2362|pf1|pf2|36232100.在f1pf2中，由余弦定理得cosf1pf20，且f1pf2(0，180)，f1pf290，|pf1|pf2|3216.反思与感悟(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|pf1|pf2|2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于ca).(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|pf1|pf2|2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.跟踪训练2已知双曲线1的左、右焦点分别是f1、f2，若双曲线上一点p使得f1pf260，求f1pf2的面积.解由1得，a3，b4，c5.由双曲线的定义和余弦定理得|pf1|pf2|6，|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos60，所以102(|pf1|pf2|)2|pf1|pf2|，所以|pf1|pf2|64，|pf1|pf2|sinf1pf26416.题型三与双曲线有关的轨迹问题例3如图，在abc中，已知|ab|4，且三个内角a，b，c满足2sinasinc2sinb，建立适当的坐标系，求顶点c的轨迹方程.解以ab边所在的直线为x轴，ab的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则a(2，0)，b(2，0).由正弦定理得sina，sinb，sinc(r为abc的外接圆半径).2sinasinc2sinb，2|bc|ab|2|ac|，从而有|ac|bc|ab|2).反思与感悟(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：列出等量关系，化简得到方程；寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：双曲线的焦点所在的坐标轴；检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.跟踪训练3如图所示，已知定圆f1：(x5)2y21，定圆f2：(x5)2y242，动圆m与定圆f1，f2都外切，求动圆圆心m的轨迹方程.解圆f1：(x5)2y21，圆心f1(5,0)，半径r11；圆f2：(x5)2y242，圆心f2(5,0)，半径r24.设动圆m的半径为r，则有|mf1|r1，|mf2|r4，|mf2|mf1|310|f1f2|.点m的轨迹是以f1，f2为焦点的双曲线的左支，且a，c5，于是b2c2a2.动圆圆心m的轨迹方程为1(x).1.已知f1(3,3)，f2(3,3)，动点p满足|pf1|pf2|4，则p点的轨迹是()a.双曲线b.双曲线的一支c.不存在d.一条射线答案b解析因为|pf1|pf2|4，且4|f1f2|，由双曲线定义知，p点的轨迹是双曲线的一支.2.椭圆1和双曲线1有相同的焦点，则实数n的值是()a.5b.3c.5d.9答案b解析由题意知，34n2n216，2n218，n29.n3.3.双曲线1的焦距为()a.3b.4c.3d.4答案d解析由标准方程得a210，b22，所以c2a2b212，c2，所以焦距2c4.4.已知双曲线中a5，c7，则该双曲线的标准方程为_.答案1或1解析当焦点在x轴上时，方程为1，当焦点在y轴上时，方程为1.5.p是双曲线x2y216的左支上一点，f1，f2分别是左、右焦点，则|pf1|pf2|_.答案8解析将x2y216化为标准形式为1，所以a216,2a8，因为p点在双曲线左支上，所以|pf1|pf2|8.1.双曲线定义中|pf1|pf2|2a (