北师大版选修21 3.3.2 双曲线的简单性质 作业.docx

3.2双曲线的简单性质1.如果方程x2-p+y2q=1表示双曲线,那么下列椭圆中,与该双曲线共焦点的是()a.x22p+q+y2q=1b.x2p+2q+y2q=1c.x22p+q+y2p=-1d.x2p+2q+y2p=-1答案:c2.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为()a.x24-y212=1b.x212-y24=1c.x210-y26=1d.x26-y210=1解析:由已知e=2,c=4,得a=2,则b2=12,故双曲线的方程为x24-y212=1.答案:a3.如图所示,椭圆c1,c2与双曲线c3,c4的离心率分别是e1,e2与e3,e4,则e1,e2,e3,e4的大小关系是()a.e2e1e3e4b.e2e1e4e3c.e1e2e3e4d.e1e2e40)的左、右焦点分别为f1,f2,它的一条渐近线方程为y=x,点p(3,y0)在该双曲线上,则pf1pf2等于()a.-12b.-2c.0d.4解析:由渐近线方程y=x,得b=2,把点p(3,y0)代入x22-y22=1中,得y0=1,不妨取p(3,1).f1(-2,0),f2(2,0),pf1pf2=(-2-3,-1)(2-3,-1)=3-4+1=0.答案:c5.已知平面上两点m(-5,0)和n(5,0),若直线上存在点p使|pm|-|pn|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是()y=x+1;y=2;y=43x;y=2x+1.a.b.c.d.答案:d6.已知圆c:x2+y2-6x-4y+8=0.以圆c与x轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为.解析:圆c:x2+y2-6x-4y+8=0中,令y=0,得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4,所以圆c与x轴的交点分别为(2,0),(4,0),则a=2,c=4,b2=12,所以双曲线的标准方程为x24-y212=1.答案:x24-y212=17.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=2x有交点,则双曲线的离心率的取值范围是.解析:直线y=2x必过原点,要使直线与双曲线有交点,则双曲线渐近线的斜率|k|2,即ba2,所以c2-a2a24,解得e2=c2a25,故e5.答案:(5,+)8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为.解析:双曲线的一条渐近线方程为y=3x,ba=3.双曲线的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,c=4.由可知a2=4,b2=12.双曲线的方程为x24-y212=1.答案:x24-y212=19.已知椭圆c1:x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线c2:x2-y24=1有公共的焦点,c2的一条渐近线与以c1的长轴为直径的圆相交于a,b两点.若c1恰好将线段ab三等分,则b2=.解析:因为椭圆c1:x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线c2:x2-y24=1有公共的焦点,所以c2=5,a2=b2+5.因为双曲线的一条渐近线方程为y=2x,所以由x2a2+y2b2=1,y=2x,得渐近线与椭圆在第一象限内的交点坐标为ab4a2+b2,2ab4a2+b2.又因为渐近线与以c1的长轴为直径的圆相交于a,b两点,且c1恰好将线段ab三等分,所以a29=5a2b2b2+4a2,从而得a2=112,b2=12.答案:1210.已知双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,且过点(2,3).(1)求双曲线c的标准方程和焦点坐标;(2)已知点p在双曲线c上,且f1pf2=90,求点p到x轴的距离.解(1)e2=c2a2=1+b2a2=2,a2=b2.双曲线c:x2a2-y2a2=1.又该双曲线过点(2,3),将点(2,3)的坐标代入x2a2-y2a2=1,得a2=b2=1.双曲线c的标准方程为x2-y2=1,焦点坐标为f1(-2,0)和f2(2,0).(2)由已知条件得|f1p|2+|f2p|2=8,|f1p|-|f2p|=2,|f1p|f2p|=2.点p到x轴的距离为|f1p|f2p|f1f2|=222=22.11.已知一双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,且过点p(-3,2),过此双曲线的右焦点且斜率为34的直线分别交直线x=a2c于m,n两点.若以mn为直径的圆过原点,求此双曲线的方程.解设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0).点p(-3,2)在双曲线上,9a2-4b2=1.将直线l的方程y=34(x-c)(c为半焦距)与x=a2c联立,解得点m,n的坐标分别为ma2c,3(a2-c2)4c,n-a2c,-3(a2+c2)4c.以mn为直径的圆过原点,omon,xmxn+ymyn=0,即a2c-a2c+3(a2-c2)4c-3(a2+c2)4c=0,整理,得5a2=3c2.c2=a2+b2,2a2=3b2.由,解得a2=3,b2=2,故所求双曲线的方程为x23-y22=1.12.已知斜率为1的直线l与双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)相交于b,d两点,且bd的中点为m(1,3).(1)求c的离心率;(2)设c的右顶点为a,右焦点为f,|df|bf|=17,证明过a,b,d三点的圆与x轴相切.(1)解由题意知l的方程为y=x+2.代入c的方程,并化简,得(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0.设b(x1,y1),d(x2,y2),则x1+x2=4a2b2-a2,x1x2=-4a2+a2b2b2-a2.由点m(1,3)为bd的中点,知x1+x22=1,故124a2b2-a2=1,即b2=3a2.故c=a2+b2=2a.所以c的离心率e=ca=2.(2)证明由知,c的方程为3x2-y2=3a2,则右顶点为a(a,0),右焦点为f(2a,0),且x1+x2=2,x1x2=-4+3a220,故不妨设x1-a,x2a.因为|bf|=(x1-2a)2+y12=(x1-2a)2+3x12-3a2=a-2x1,|df|=(x2-2a)2+y22=(x2-2a)2+3x22-3a2=2x2-a.所以|bf|df|=(a-2x1)(2x2-a)=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8.又|bf|df|=17,故5a2+4a+8=17,解得a=1或a=-95(舍去).