北师大版选修21 3.2.2.1 抛物线的简单性质 作业.docx

2.2抛物线的简单性质第1课时抛物线的简单性质1.动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点()a.(4,0)b.(2,0)c.(0,2)d.(0,-2)解析:直线x+2=0为抛物线的准线,则圆心到直线x+2=0的距离等于圆心到抛物线焦点的距离,所以,动圆必过定点(2,0).答案:b2.设抛物线y2=8x的焦点为f,准线为l,p为抛物线上一点,pal,a为垂足.如果直线af的斜率为-3,那么|pf|=()a.43b.8c.83d.16解析:直线af的方程为y=-3(x-2),联立y=-3x+23,x=-2,得y=43,所以点p的坐标为(6,43).由抛物线的性质,得|pf|=|pa|=6+2=8.答案:b3.过抛物线的焦点f的直线与抛物线相交于a,b两点,若点a,b在抛物线的准线上的射影分别为a1,b1,则a1fb1为()a.45b.60c.90d.120解析:设抛物线的方程为y2=2px(p0).如图所示,|af|=|aa1|,|bf|=|bb1|,aa1f=afa1,bfb1=fb1b.又aa1oxb1b,a1fo=fa1a,b1fo=fb1b.a1fb1=12afb=90.答案:c4.等腰直角三角形abo内接于抛物线y2=2px(p0),o为抛物线的顶点,oaob,点a在x轴上方,则abo的面积是()a.8p2b.4p2c.2p2d.p2解析:由抛物线的对称性及oaob知直线oa的方程为y=x,由y=x,y2=2px,得a(2p,2p),则b(2p,-2p),所以|ab|=4p,所以sabo=124p2p=4p2.故选b.答案:b5.已知点a(2,0),抛物线c:x2=4y的焦点为f,射线fa与抛物线c相交于点m,与其准线相交于点n,则|fm|mn|=()a.25b.12c.15d.13解析:射线fa的方程为x+2y-2=0(x0).如图所示,知tan =12,sin =55.由抛物线的定义知|mf|=|mg|,|fm|mn|=|mg|mn|=sin =55=15.故选c.答案:c6.设o为坐标原点,f为抛物线y2=4x的焦点,a为抛物线上一点,若oaaf=-4,则点a的坐标是.解析:由y2=4x,知f(1,0).点a在y2=4x上,不妨设ay24,y,则oa=y24,y,af=1-y24,-y.代入oaaf=-4中,得y241-y24+y(-y)=-4,化简得y4+12y2-64=0.y2=4或-16(舍去),y=2.点a的坐标为(1,2)或(1,-2).答案:(1,2)或(1,-2)7.抛物线y2=4x与直线2x+y-4=0交于两点a与b,f是抛物线的焦点,则|fa|+|fb|=.解析:设a(x1,y1),b(x2,y2),则|fa|+|fb|=x1+x2+2.由y2=4x,2x+y-4=0,得x2-5x+4=0,x1+x2=5.|fa|+|fb|=x1+x2+2=7.答案:78.已知过抛物线y2=4x的焦点f的直线交该抛物线于a,b两点,|af|=2,则|bf|=.解析:由焦点弦的性质知,1|af|+1|bf|=2p,即12+1|bf|=1,|bf|=2.答案:29.已知直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于a,b两点,若|ab|=4,则弦ab的中点到直线x+12=0的距离为.解析:直线4kx-4y-k=0,即y=kx-14,即直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点14,0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则|ab|=x1+x2+12=4,故x1+x2=72,则弦ab的中点的横坐标是74,弦ab的中点到直线x+12=0的距离是74+12=94.答案:9410.已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,其准线l与圆(x-2)2+y2=25相切,求抛物线的标准方程.解抛物线的焦点在x轴上,准线l与x轴垂直.设准线方程为x=m,准线l与圆(x-2)2+y2=25相切,|m-2|=5,解得m=7或m=-3,即准线方程为x=7或x=-3.所求抛物线的标准方程为y2=-28x或y2=12x.11.已知过抛物线y2=4x的焦点f的弦长为36,求弦所在的直线方程.分析弦所在的直线经过焦点f(1,0),因为弦长为36,所以可以判断直线的斜率是存在的且不为0,故只需求出该直线的斜率即可.解由题意可设弦所在的直线的斜率为k(k0),且与抛物线交于a(x1,y1),b(x2,y2)两点.抛物线y2=4x的焦点f的坐标为(1,0),直线方程为y=k(x-1).由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=2k2+4k2.|ab|=|af|+|bf|=x1+x2+2=2k2+4k2+2.|ab|=36,2k2+4k2+2=36,k=24.所求直线的方程为y=24(x-1)或y=-24(x-1).12.如图所示,过抛物线y2=2px(p0)的焦点f的直线l交抛物线于点a,b,交其准线于点c,若|bc|=2|bf|,且|af|=3,求此抛物线的标准方程.解如图所示,过点b作准线的垂线,垂足为b1,记准线与x轴的交点为f1,则依题意得|bb1|ff1|=|bc|cf|=23,所以|bb1|=23|ff1|=2p3.由抛物线的定义,得|bf|=|bb1|=2p3.令a(x1,y1),b(x2,y2),依题意知fp2,0,可设直线l的方程为y=kx-p2.联立得方程组y2=2px,y=kx-p2,消去y,得k2x2-p(k2+2)x+