28第28讲 正方形.doc

第28讲 正方形本讲重点：正方形的性质和判定.【考点链接】1正方形的定义和从属关系2.正方形的性质：边角对角线对称性正方形对边平行，四条边都 四个角都是 两条对角线互相垂直平分且 ，每条对角线平分一组对角轴对称，中心对称3正方形的判定方法（1）有一组 相等的矩形是正方形；（2）有一个角是 的矩形是正方形. 【典例探究】考点1 正方形的判定例1（2012江苏南京）如图，梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点 （1）求证：四边形EFGH为正方形； （2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积.解析（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由ACBD入手，进行正方形的判断.（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出 ，也即得出了正方形EHGF的面积.解：（1）证明：在ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，EF=AC.同理FG=BD，GH=AC，HE=BD.在梯形ABCD中，AB=DC，AC=BD.EF=FG=GH=HE，四边形EFGH是菱形.设AC与EH交于点M，在ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EHBD，同理GHAC.又ACBD，BOC=90.EHG=EMC=90.四边形EFGH是正方形.（2）连接EG.在梯形ABCD中，E、F分别是AB、DC的中点，.在RtEHG中，EH2+GH2=EG2，EH=GH，即四边形EFGH的面积为.备考兵法解这类问题的关键是正确理解正方形与矩形、菱形及平行四边形之间的关系.考点2 正方形性质和判定的综合应用例2（1）（2012甘肃白银）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )Am+3 Bm+6 C2m+3 D2m+6（2）（2012安徽省）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为，则阴影部分的面积为( )A.2 B. 3 C. 4 D.5（3）（2012广东佛山）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 （4）（2012贵州黔东南）点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90，得线段PE，连接BE，则CBE等于( )A75 B60 C45 D30解析（1）由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长：设拼成的矩形一边长为x，则依题意得剩余部分为：（m+3）2m2=3x，解得，x=（6m+9）3=2m+3.故选C.（2）图案中间的阴影部分是正方形，面积是，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算：.故选A.（3）根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解：设拼成的矩形的另一边长为x，则4x=（m4）2m2=（m4m）（m4m）=8m16，解得x=2m4.（4）过点E作EFAF，交AB的延长线于点F，则F=90，四边形ABCD为正方形，AD=AB，A=ABC=90.ADP+APD=90.由旋转可得：PD=PE，DPE=90，APD+EPF=90.ADP=EPF.在APD和FEP中，ADP=EPF，A=F，PD=PE，APDFEP（AAS）.AP=EF，AD=PF.又AD=AB，PF=AB，即AP+PB=PB+BF.AP=BF.BF=EF.又F=90，BEF为等腰直角三角形.EBF=45.又CBF=90，CBE=45.故选C.备考兵法正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的菱形和矩形，具有平行四边形、菱形和矩形的一切性质，在解题过程中，要注意灵活运用.考点3 综合型问题例3（2012山东滨州）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上过点A作AFl3于点F，交l2于点H，过点C作CEl2于点E，交l3于点G（1）求证：ADFCBE；（2）求正方形ABCD的面积；（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S解析（1）证明：在RtAFD和RtCEB中，AD=BC，AF=CE，RtAFDRtCEB（HL）.（2）ABH+CBE=90，ABH+BAH=90，CBE=BAH.又AB=BC，AHB=CEB=90，ABHBCE（AAS）.同理可得，ABHBCECDGDAF.S正方形ABCD=4SABH+S正方形HEGF=421+1+1=5.（3）由（1）知，AFDCEB，故h1=h3，由（2）知，ABHBCECDGDAF，S正方形ABCD=4SABH+S正方形HEGF=4（h1+h2）h1+h22=2h12+2h1h2+h22备考兵法本题综合考察了正方形的性质，属于基础题，解答这类题时一般采取利用图形的全等的知识将分散的图形集中在一起，再结合图形的特征求解.【当堂过关】1. （2012湘潭模拟）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（）A、平行四边形 B、正方形 C、等腰梯形 D、矩形解析对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故选B答案B2. （2012河北）如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为，则等于（）A7 6 5 4解析用c表示非阴影部分的面积，于是有，两式相减就得.答案A3. （2012湖北荆门）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为( )A 8 B 4 C 8 D 6解析利用正方形性质求解.答案C4. （2012牡丹江）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且EOF=90，BO、EF交于点P则下列结论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF=OA；（4）AE2+CF2=2OPOB，正确的结论有（）个A、1B、2C、3D、4解析从图中可看出全等的三角形至少有四对故（1）错误OBE的面积和OFC的面积相等，故（2）正确BE+BF是边长，故BE+BF=OA是正确的因为AE=BF，CF=BE，故AE2+CF2=2OPOB是正确的故选C答案C5. （2012孝感模拟）已知正方形ABCD，以CD为边作等边CDE，则AED的度数是 .解析当E在正方形ABCD内时，ADE=9060=30，AD=DE，DAE=AED=（180ADE）=75；当E在正方形ABCD外时，AED=DAE=（180ADE）=15答案15或756. （2012贵州贵阳）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=AD.AEF是等边三角形，AE=AF.在RtABE和RtADF中，AB=AD， AE=AF，RtABERtADF（HL）.CE=CF.（2）连接AC，交EF于G点，AEF是等边三角形，ECF是等腰直角三角形，ACEF.在RtAGE中，EG=sin30AE=2=1，EC=.设BE=x，则AB=BC=x+，在RtABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，解得x=（负值舍去）.AB=.正方形ABCD的周长为4AB=2（）.7. （2012咸宁模拟）（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数（2）如图，在RtABD中，BAD=90，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且MAN=45，将ABM绕点A逆时针旋转90至ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长解：（1）在RtABE和RtAGE中，ABEAGE同理，（2）， 又，AMNAHN，（3）由（1）知，设，则，解这个方程，得，（舍去负根）在（2）中，设，则即8. （2012贵州贵阳）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线（1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线；（2）如图所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，ABCD，且SABCSACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由解：（1）6；无数.（2）这个图形的一条面积等分线如图：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分即OO为这个图形的一条面积等分线.（3）四边形ABCD的面积等分线如图所示：理由如下：过点B作BEAC交DC的延长线于点E，连接AE.BEAC，ABC和AEC的公共边AC上的高也相等， SABC=SAEC.SACDSABC，面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线.【浙江两年中考】1. （2011湖州市）如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别是2和1的长方形.现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 张才能用它们拼成一个新的正方形.解析甲类纸片1张，乙类纸片4张的面积之和为8，每张丙类纸片的面积为2，而所拼成的新的正方形面积应为完全平方数，故应至少取丙类纸片4张.答案42. (2011绍兴) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 . 解析展开折叠后的图形求解.答案3.（2011舟山）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC=（090）， 试用含的代数式表示HAE； 求证：HE=HG； 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由 （图2）（图3）（图1）解：（1）四边形EFGH是正方形 (2) HAE=90a在ABCD中，ABCD，BAD=180ADC=180a；HAD和EAB都是等腰直角三角形，HAD=EAB=45，HAE=360HADEABBAD3604545（180a）90aAEB和DGC都是等腰直角三角形，AE=AB，DG=CD，在ABCD中，AB=CD，AE=DG，HAD和GDC都是等腰直角三角形，DHA=CDG= 45，HDG=HADADCCDG90aHAEHAD是等腰直角三角形，HA=HD，HAEHDG，HE=HG四边形EFGH是正方形由同理可得：GH=GF，FG=FE，HE=HG（已证），GH=GF=FG=FE，四边形EFGH是菱形；HAEHDG（已证），DHG=AHE，又AHD=AHGDHG=90，EHG=AHGAHE90，四边形EFGH是正方形【命题趋势提醒】考查正方形时，可能出简单的填空、选择，考查它们的判定条件时多以开放型试题出现的较多，或利用性质计算等；一般情况下有关平行四边形的试题多数为解答题，它将把几种四边形综合在一起，有时也将三角形的知识添加进来，题型比较灵活.【迎考精炼】一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）1. （2012义乌模拟）下列说法不正确的是（ ）A一组邻边相等的矩形是正方形 B对角线相等的菱形是正方形C对角线互相垂直的矩形是正方形 D有一个角是直角的平行四边形是正方形解析一组邻边相等的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故选D.答案D2. （2012深圳市模拟五）下列命题中，真命题是（）两条对角线相等的四边形是矩形 两条对角线互相垂直的四边形是菱形两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形解析两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.答案D3. （2012眉山市模拟）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为（ ）A90 B60 C45 D30解析构造特殊的直角三角形.答案C4. （2012芜湖模拟）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形，边与DC交于点O，则四边形的周长是 （ ）A B C D 解析点D在正方形的对角线上.答案A5. （2012烟台模拟）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是（ ） A2 B C D4解析每个阴影部分的面积是都是正方形面积得四分之一.答案A 6. （2012海宁盐官片一模）如图，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D解析当点为AC与BE的交点时，的和最小，这个最小值为BE.答案A7. （2012福建南平）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为( )A B C D3 解析C=90，BC=CD=3.根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF.设DF=x，则EF=EGGF=1x，FC=DCDF=3x，EC=BCBE=31=2.在RtEFC中，EF2=EC2FC2，即（x1）2=22（3x）2，解得：.DF= ，EF=1.答案B8. （2012杭州金山学校模拟）正方形、正方形和正方形的位置如图，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为（ ）、10 、12 、14 、16解析分割成规则的三角形后求和.答案D9. （2012浠水模拟）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解析设CN的长，列方程解.答案B10. （2012山东日照）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是( )（A） （B） （C） （D） 解析等腰直角三角形OAB中，A=B=450，AA1C1和BB1D1都是等腰直角三角形.AC1=A1C1，BD1=B1D1.又正方形A1B1C1D1中，A1C1=C1D1=B1D1=A1B1，AC1=C1D1=D1B.又AB=1，C1D1=，即正方形A1B1C1D1的边长为.同理，正方形A2B2C2D2的边长为，正方形A3B3C3D3的边长为，正方形AnBnCnDn的边长为.答案B二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在横线上）11. （2012日照模拟）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN当BM= 时，四边形ABCN的面积最大解析当，M是BC的中点时四边形ABCN的面积最大答案212. （2012平阳市模拟）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则BCE的度数是 解析先求的E=67.5，所以BCE=22.5.答案22.513. （2012泰州模拟）如图，平面内4条直线L1、L2、L3、L4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点、分别在直线L1和L4上，该正方形的面积是 平方单位解析构造直角三角形解.答案5或914. （2012杭州三模） 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE=BC，点P在EC上，PMBD于M，PNBC于N，则PM+PN= .解析考察特殊情况.答案15. （2012四川攀枝花）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 解析连接DE，交BD于点P，连接BD.点B与点D关于AC对称，DE的长即为PE+PB的最小值.AB=4，E是BC的中点，CE=2.答案16. （2012德州模拟）长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止当n=3时，a的值为_ 第一次操作第二次操作解析分类考虑.答案或三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17.（6分）（2012肇庆模拟）如图，在一方形ABCD中E为对角线AC上一点，连接EB、ED.（1）求证：BECDEC：（2）延长BE交AD于点F，若DEB=140求AFE的度数解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，CD=CB，DCA=BCA，CE=CE，BECDEC（2）DEB=140，BECDEC，DEC=BEC=70，AEF=BEC=70，DAB=90，DAC=BAC=45，AFE=1807045=6518.（8分）（2012宁夏区）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且EDF=45.将DAE绕点D逆时针旋转90，得到DCM.（1）求证：EF=FM （2）当AE=1时，求EF的长.解：(1) 证明：DAE逆时针旋转90得到DCM，DE=DM，EDM=90.EDF + FDM=90.EDF=45，FDM =EDF=45.DF= DF ，DEFDMF（SAS）.EF=MF.（2）设EF=x .AE=CM=1 ， BF=BMMF=BMEF=4x . EB=2，在RtEBF中，由勾股定理得，即解得， . EF的长为.19.（8分）（2012玉林模拟）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H（1）求证：EB=GD；（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（3）若AB=2，AG=，求EB的长解：（1）证明：在GAD和EAB中，GAD=90+EAD，EAB=90+EAD，GAD=EAB，又AG=AE，AB=AD，GADEAB，EB=GD；（2）EBGD，理由如下：连接BD，由（1）得：ADG=ABE，则在BDH中，DHB=180（HDB+HBD）=18090=90，EBGD；（3）设BD与AC交于点O，AB=AD=2在RtABD中，DB=，EB=GD=20.（8分）（2012黑河模拟）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EFAB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EGCG（1）将BEF绕点B逆时针旋转90，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想（2）将BEF绕点B逆时针旋转180，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明解：（1） EG=CG，EGCG（2）EG=CG，EGCG 证明：延长FE交DC延长线于M，连MGAEM=90，EBC=90，BCM=90，四边形BEMC是矩形BE=CM，EMC=90，又BE=EF，EF=CMEMC=90，FG=DG，MG=FD=FGBC=EM，BC=CD，EM=CDEF=CM，FM=DM，F=45又FG=DG，CMG=EMC=45，F=GMCGFEGMCEG=CG，FGE=MGC FMC=90，MF=MD，FG=