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简单复合函数的求导法则 07 27 03 知识回顾 title 1 导数公式表 07 27 03 2 导数的四则运算法则 设函数u x v x 是x的可导函数 则 推论 c f x cf x 07 27 03 课前练习 07 27 03 引例 一艘油轮发生泄漏事故 泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜 其面积是半径的函数 油膜半径随着时间的增加而扩大 其函数关系为 问 1 油膜面积关于时间函数关系式 2 该函数关系式有何特点 1 复合函数的概念 讲授新课 07 27 03 注意 1 复合函数是y关于的x函数 自变量是x 而非中间变量u 2 y f u 叫作外层函数 u x 叫作内层函数 指出下列函数是怎样复合而成 练习1 07 27 03 07 27 03 其实 是一个复合函数 问题 分析三个函数解析式以及导数之间的关系 定理设函数y f u u x 均可导 则复合函数y f x 也可导 且 或 复合函数的求导法则 即 因变量对自变量求导 等于因变量对中间变量求导 乘以中间变量对自变量求导 链式法则 证设变量x有增量 x 由于u可导 相应地变量u有增量 u 从而y有增量 y 求复合函数的导数应处理好以下环节 1 合理选定中间变量 中间变量的选择应是基本函数结构 2 正确分析函数的复合关系 3 从最外层开始 由外及里 一层层地求导 明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导 4 善于把一部分表达式作为一个整体 5 最后要把中间变量换成自变量的函数 例1 求 的导数 分析 解1 解2 可由y sinu u 2x复合而成 2cos2x 练习2设y 2x 1 5 求y 解把2x 1看成中间变量u y u5 u 2x 1 复合而成 所以 将y 2x 1 5看成是由 由于 例2设y sin2x 求y 解这个函数可以看成是y sinx sinx 可利用乘法的导数公式 将y sin2x看成是由y u2 u sinx复合而成 而 所以 这里 我们用复合函数求导法 求y 解将中间变量u 1 x2记在脑子中 这样可以直接写出下式 例3 练习3 设f x sinx2 求f x 解 求复合函数导数的步骤 确定中间变量 明确函数关系y f u u x 分步求导 先求f u 再求 x 计算f u x 并把中间变量转化为自变量的函数 整个过程可简记为 分解 求导 回代 三个步骤 作业 课本p51页习题2 5第1 2题 解析 解 2 y sin3x sinx3 sin3x sinx3 3sin2x sinx cosx3 x3 3sin2xcosx 3x2cosx3 解析 自学课本
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