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抛物线的方程与性质答案解析（一）抛物线方程1.焦点在直线上的抛物线的标准方程是2（09宁夏海南）已知抛物线的顶点坐标为原点，焦点在轴上，直线与抛物线交于两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 【解】设抛物线为，与联立方程组，消去，得：，故3.设斜率为的直线过抛物线的焦点，且与轴交于点，若（ 为原点）的面积为，则抛物线方程为 【解】易知，直线方程为，令得，得， 所以抛物线方程为（二）抛物线定义1到轴的距离比到点的距离小2的轨迹方程为或【解】当动点在轴的负半轴时，满足条件即轨迹方程为；当时，则问题转化为动点到直线的距离与到点的距离相等，则有2（09年全国）已知直线与抛物线：相交两点，为 的焦点若,则（ D ）A1 B C D【解】直线过定点即抛物线焦点（2，0），由及第二定义知联立方程用根与系数关系可求另法：借用第二定义得解直角三角形。3设是过抛物线焦点的弦，以弦为直径的圆与准线的位置关系是 ( )A相切 B相交 C相离 D不能确定【解】过分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，弦的中点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，则由抛物线定义得：，所以以弦为直径的圆与抛物线的准线相切4（09年四川）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ A ）A2 B3 C D 【解】直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，到的距离等于到抛物线的焦点的距离，问题转化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即【变式训练1】已知是抛物线上的一个动点，则到点的距离与到抛物线准线的距离之和最小值为 【解】点在抛物线准线上的投影为，则，所以【变式训练2】已知是抛物线准线上的一个动点，为抛物线焦点，点为抛物线上一点，且，则最小值为 【解】知，原点关于准线的对称点，则（三）抛物线性质1.(11年全国)已知抛物线：的焦点为，直线与交于两点则的值为（ D ）A. B. C. D. 【解】，准线方程为，由则，由抛物线的定义得由余弦定理得，故选D2.（10重庆）已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离为_【解】设BF=m,由抛物线的定义知中，AC=2m,AB=4m, 直线AB方程为 与抛物线方程联立消y得所以AB中点到准线距离为【变式训练】定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标分析：线段中点到轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值这是中点坐标问题，因此只要研究、两点的横坐标之和取什么最小值即可【解】如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的垂线为，、和是垂足，则设点的横坐标为，纵坐标为，则等式成立的条件是过点当时，故，所以，此时到轴的距离的最小值为说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简3.（09年福建）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长为8，则 【解】由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又；【另解】4.（10年山东）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 【解】设、则有，两式相减得：，所以有，又线段的中点的纵坐标为2，即，所以，所以抛物线的准线方程为.（点差法的应用）【变式训练】（09宁夏海南）设已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，直线与抛物线相交于两点。若的中点为（2，2），则直线的方程为_.【解】抛物线的方程为，、，则，两式相减得，所以直线的方程为。5.（09年天津）设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，=2，则与ACF的面积之比（ ）A B C D 【解】由题知，又，由三点共线有，所以 ， 6.设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在准线上的射影为，则在的重心、外心、内心和垂心中，有可能仍在抛物线上的有（A）个 个 个 个【解】由抛物线的定义知：，则为等腰三角形，它所有心都在底边上的高线上，则是中垂线都会与矛盾，唯有等腰直角时，垂心是顶点。P7.已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，分别过作轴的平行线依次交抛物线的准线于两点，是的中点，连结,有下列命题：点是的外心；的外心可能在此抛物线上；轴相交于一点；过两点的抛物线的两条切线的交点在抛物线的准线上；线段的长度满足：.的垂心可能在此抛物线上；则上述命题正确的序号是： 【解】.对； 若的外心在此抛物线上则；因为以AB为直径的圆与准线相切，则圆心H在AB 的中点上，不可能在抛物线上；错； ,，;知的中点P在轴上；,则轴相交于一点；过两点的抛物线的两条切线的交点在抛物线的准线上；（抛物线性质）设，则切线方程分别为，联立解得： ，即两切线的交点在准线上；线段的长度满足：.由得，又,得, ,所以，,，,以AB为直径构造一个圆,有得:（相交弦定理）（四）抛物线综合1.已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足设圆的方程为（1）证明：线段是圆的直径;（2）当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时，求P的值。（1）证法一：，即，整理得设点是以线段为直径得圆上得任意一点，则即展开上式并将带入得故线段是圆的直径证法二：同法一得： 以 AB 为直径的圆的方程是，展开，并将代入得所以线段 AB 是圆 C 的直径 （2）解法一：设圆的圆心为则 ，又0 ， ，, ，所以圆心的轨迹方程为：= 设圆心到直线 的距离为，则当时，有最小值，由题设得， 解法二：同法一得：圆心的轨迹方程为： 设直线与的距离为，则当与仅有一个公共点时，该点到的距离最小，最小值为，由 消x得，由 得（）解法三：设圆的圆心为，则若圆心到直线的距离为，那 ，又，当时，有最小值，由题设得，2.（07年福建）如图，已知点，直线，为平面上的动点过作直线的垂线，垂足为点，且 （）求动点的轨迹的方程； （）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，求的值【解】解法一：（）设点，则，由得：PBQMFOAxy，化简得（）设直线的方程为：设，又，联立方程组，消去得：