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数学建模第一专题数学建模基本概念杨乾尧前言我们在学习数学的时候，经常会提出这样一些问题：数学到底有什么用？如果数学有用，那么数学怎么用？特别是到了大学以后，这样的问题更为普遍。针对这样一些困惑，从二十世纪九十年代开始，以清华大学为首的许多高等院校在校内开始开设数学建模、数学实验等课程；与此同时，国家教委高教司与清华大学等高校一起在全国范围内开展了“数学建模竞赛”的活动，旨在激发同学们学习数学的兴趣，培养大学生的数学建模能力（即数学应用能力）、创新能力以及综合运用所学知识的能力，提高大学生的数学素养和综合素质。一石激起千层浪！自从数学建模竞赛于1993年在全国范围内举办以来，如火如荼，现已成为全国大学生最大的课外科技活动。每个大学生都把能参加这样的赛事作为自己的荣誉，把能获得奖项作为自己的追求目标，不断努力不断追求，取得了许多可喜可贺的成绩，也留下了许多感人的事迹。尽管每个大学生追求的过程各有千秋，但有一点是共同的，那就是每个参赛大学生的综合能力得到了普遍的提高，为求职创业增加了不可替代的法码。今年我们北方学院为了全面提高在校大学生的素质，培养创新能力和综合运用知识的能力，提出了“质量立校”的口号，通过举办和参加一系列科技竞赛活动，促进学校的校风和学风建设，努力提高人才培养质量。数学建模课程的开设和组队参加全国大学生数学建模竞赛活动就是在这样的背景下产生了。数学建模是一门应用性的数学课程，它揭示了数学应用的极端广泛性，同时回答了数学怎么用的问题。通过学习这门课程，我们要达到以下四个目的：对数学学科有新的认识，明确数学不但是自然科学的基础，而且是一切学科的基础。了解数学应用的极端广泛性，在于它的高度抽象性。掌握数学建模的方法与步骤。熟记一些常见的数学模型；同时能够结合计算机、数学软件解决一些实际问题。学习数学建模课、参加数学建模竞赛是一件非常有意义的一件事，她不但能培养我们的自学能力、创新能力，而且还能培养实践能力、科研能力、协作能力，可以全面提高我们的综合素质。为此要求大家：认真听讲，认真做好笔记；适当采购些参考书，特别是Mathematica、Matlab等方面的书，因为学时数的限制，这方面的内容我们介绍不多；要多练，勤思考。数学建模的基本概念与方法一、数学模型与数学建模（一）数学模型（Mathematical Model）1、原型与模型原型：指人们在现实世界中关心与研究的实际对象。（如：汽车、飞机、房子等）模型：指人们为了一个特定的目的，将原型的某一部分信息简缩、提炼而构成的原型替代物。（如：汽车、飞机、房子等）2、模型分类（按替代方式分类）直观模型：供展览用的实物模型。（玩具等）物质模型物理模型：根据相似原理构造的模型。（形象模型） （如：波浪水箱中的舰艇模型、地震模拟装置、核爆炸反应模拟设备等） 思维模型：指人们通过对原型的反复认识而 获得的知识与经验。（司机对方向 盘的操纵、教师的讲课艺术等） 符号模型：指在一些约定或假设下借助于专理想模型 门的符号、线条等，按一定形式（抽象模型） 组合起来的模型。（地图、电路图、 化学结构式等非量化模型） 数学模型：由数字、字母或其它专用数学符号按一定方式组成的数学公式、图形等。（广义解释）3、数学模型（Mathematical Model）数学模型就是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。(狭义解释)如：定积分 就是曲边梯形面积的一个数学模型。我们通过运用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积的思想方法，得到曲边梯形面积的近似值，再利用极限手段得到精确值（数学结构）。本课程的重点不是介绍数学模型是什么样子的，而是讨论建立数学模型的全过程，简称“数学建模”（Mathematical Modelling）,从中掌握一些常用的建模方法，为今后解决复杂的建模问题打下良好的基础。（二）数学建模（Mathematical Modelling）1、数学建模的概念数学建模是一种数学的思考方法和数学的思维活动过程，是对实际问题通过抽象与简化，运用数学的语言与方法去刻划，并能近似解决实际问题的一种数学活动过程。建立数学模型没有固定的格式与标准，甚至对于同一问题，从不同的角度、不同的要求出发，可以建立起不同的数学模型。因此与其说数学建模是一门技术，不如说是一门艺术，它需要熟练的数学技巧与计算机技能，丰富的想象力与敏锐的洞察力，灵活运用抽象、归纳、演绎、类比等思维方法，需要大量阅读、亲自实践。2、数学建模的全过程下图揭示了实际问题与数学模型的关系：数学模型是对实际问题进行抽象、翻译、归纳的产物，它来源于现实，又高于现实，是从数学量关系方面对实际问题的内在特征作了精确表述。同时数学模型经过求解又要接受实际的检验，如果检验正确，就可用来指导实践，如果检验不正确，则需重复上述过程。这也是辩证唯物主义认识论的全过程：实践认识实践实际问题抽象、归纳、假设数学模型解答数学模型检验数学模型不符合实际 符合实际交付使用，从而产生经济与社会效益二、数学建模示例下面介绍两个数学建模的例子，直接感受建立数学模型的全过程，从中归纳出建立数学模型的方法与步骤。【例题1】椅子的稳定性问题一把四条腿的椅子，往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，如果稍挪动几次，问：能否让四脚同时着地、放稳？模型假设 ：1、椅子四条腿一样长，四脚的连线呈正方形；2、地面是一个连续曲面，即沿任何方向，地面的高度不会出现间断（如：台阶、裂口等）;3、对于椅子的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。模型构成：即用数学语言把椅子四脚着地的条件和结论表示出来。设椅子的四只脚分别为A、B、C、D，正方形ABCD的中心点为O，以O为原点，对角线AC与X轴重合，建立坐标系（如图）。椅子绕中心点O旋转角后，正方形ABCD转至YABCD的位置，椅子位B于不同的位置，椅子脚与地BA面的距离也不同，所以这个距离是的函数。COAX设A、C两脚与地面的CD距离之和为f()，B、D两脚D与地面的距离之和为g()。由于椅子在任何位置总有三只脚可以同时着地，即对于任意，f()g()=0。不妨设g(0)=0,则原问题可抽象为如下的数学问题：已知f()、g()是的连续函数，g(0)=0，且对任意，f()g()=0。问是否存在0，使f(0)=g(0)=0。模型求解：不妨设f(0)0 (若f(0)=0,则取0=0即为所求)。将椅子旋转900，则对角线AC与BD对换，由f(0)0,g(0)=0知f()=0,g()0。 令h()=f()-g(), 则h(0)=f(0)0,h()=-g()=3,DoIfsi+1=sm,u=1;Break,m,l,i-1,2;Ifu=0,ci+1=dj;Break,j,1,5;Ift=0,PrintNo Result;Break;bi+1=3,3-si+1;Printsi,“-”,ci+1, “-”,bi+1;Ifsi+1=0,0,Break,i,1,12程序运行结果如下：此岸-船上-对岸 3,3-0,2-0,2 3,1-0,1-0,1 3,2-0,2-0,3 3,0-0,1-0,2 3,1-2,0-2,2 1,1-1,1-1,1 2,2-2,0-3,1 0,2-0,1-3,0 0,3-0,2-3,2 0,1-0,1-3,1 0,2-0,2-3,3三、数学建模的方法与步骤（一）数学建模的方法1、机理分析法：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。2、测试分析法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。3、两者结合：将这两种方法结合起来也是常用的建模方法，即用机理分析法建立模型的结构，用测试分析法确定模型的参数。（机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究来学习。建模主要指机理分析）（二）数学建模的步骤建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关。下面给出的是建模的一般步骤。1、模型准备：即做好建模的准备工作。了解实际背景, 明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,对问题形成一个比较清晰的认识。所谓“情况明才能方法对”。2、模型假设：即根据建模的目的与问题的特征，作出必要的合理的简化，用精确的语言作出假设。为此要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，抓主要矛盾，尽量将问题线性化、均匀化。（这一步是关键，假设的好坏直接关系到模型的成败。）3、模型构成：根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量之间的关系或其它数学结构。（建模原则：尽量采用简单的数学工具）4、模型求解：可以采用解方程、画图形、证明、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是数学软件和计算机技术。5、模型分析：即对模型解答的结果进行数学上的分析。有时还常常需要进行结果的误差分析、模型对数据的稳定性分析和灵敏性分析等。6、模型检验：把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。如果检验的结果不符合实际，则必须修改、补充假设，重新建模，直到检验结果符合实际。7、模型应用：应用的方式取决于问题的性质和建模的目的，这方面的问题不在本课程讨论。注意：并不是所有的建模过程都要经过这些步骤，建模时我们不应拘泥于形式上的按部就班，而应采取灵活的表述方式。模型准备 模型假设 模型构成模型求解 模型分析 模型检验 模型应用四、数学模型的分类数学模型按照不同的方式可以分为以下几种：1、按模型的应用领域分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型等。2、按建模的数学方法分：初等模型、微分法模型、概率模型、图论模型等。3、按模型的表现特性分：（1）确定性模型与随机性模型；（2）静态模型与动态模型；（3）线性模型与非线性模型；（4）离散模型与连续模型。4、按对建模的目的分：决策模型、优化模型、预报模型、控制模型等。5、按对模型结构的了解程度分：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。白箱：主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题。灰箱：主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理沿不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面还不同程度地有许多工作要做。黑箱：主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理（数量关系方面）很不清楚的现象。当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮。习题： 1、在例1“椅子的稳定性”问题中，将假设中的“四点连线呈正方形”改为“四脚连线呈长方形”，其余不变。试构造模型并求解。2、在例2的“商人过河”问题中状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着狗、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载狗、鸡、米三者之一，而当人不在场时，狗要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。3、为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考。试尽可能迅速地回答下面的问题：某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿。次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店。某乙说，甲必在2天中的