全等三角形经典题目.doc

1、【截长补短】如图，A=60，BD、CE是ABC的角平分线，求证：BC=BE+CD【分析】在BC上找到F使得BF=BE，易证BOE=COD=60，即可证明BOEBOF，可得BOF=BOE=60，即可证明OCFOCD，可得CF=CD，根据BC=BF+CF即可解题【解答】证明：在BC上找到F使得BF=BE，A=60，BD、CE是ABC的角平分线，BOC=180（ABC+ACB）=180（180A）=120，BOE=COD=60，在BOE和BOF中，BOEBOF，（SAS）BOF=BOE=60，COF=BOCBOF=60，在OCF和OCD中，OCFOCD（ASA），CF=CD，BC=BF+CF，BC=BE+CD2、【加倍中线】如图，ABC中，D为BC的中点（1）求证：AB+AC2AD；（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围【分析】（1）再延长AD至E，使DE=AD，构造ADCEDB，再根据三角形的三边关系可得AB+AC2AD；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得532AD5+3，再计算即可【解答】（1）证明：由BD=CD，再延长AD至E，使DE=AD，D为BC的中点，DB=CD，在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS），BE=AC，在ABE中，AB+BEAE，AB+AC2AD；（2）AB=5，AC=3，532AD5+3，1AD43、【关系指的是数量关系与位置关系】如图所示，在ABC中，AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC试判断EC与BF的关系，并说明理由【分析】先由条件可以得出EAC=BAE，再证明EACBAF就可以得出结论【解答】解：EC=BF，ECBF理由：AEAB，AFAC，EAB=CAF=90，EAB+BAC=CAF+BAC，EAC=BAE在EAC和BAF中，EACBAF（SAS），EC=BFAEC=ABFAEG+AGE=90，AGE=BGM，ABF+BGM=90，EMB=90，ECBF4、已知，如图一，BAC=90，AB=AC，BDDE，CEDE求证：（1）DE=BD+CE（2）如图二，BAC=90，AB=AC，BDDE，CEDE，我们能猜想得到什么结论？（请直接写出结论）【分析】（1）只要证明ACEBAD（AAS），得到BD=AE，CE=AD，即可推出DE=AE+AD=BD+CE（2）在图2的情况下：DE=CEBD证明方法类似【解答】解：（1）在图1的情况下：DE=BD+CE证明：DAB+EAC=90，DAB+DBA=90，EAC=DBA，在ADB和CEA中，ACEBAD（AAS），BD=AE，CE=AD，DE=AE+AD=BD+CE（2）在图2的情况下：DE=CEBD理由：DAB+EAC=90，DAB+DBA=90，EAC=DBA，在ADB和CEA中，ACEBAD（AAS），BD=AE，CE=AD，DE=ADAE=CEBD5、【同角的余角相等】如图，在ABC和DBC中，ACB=DBC=90，E是BC的中点，DEAB，垂足为点F，且AB=DE（1）求证：BD=BC；（2）若BD=6cm，求AC的长【分析】（1）欲证明BD=BC，只要证明ABCEDB即可（2）由E是BC中点，BD=6cm，BD=BC，推出BE=BC=BD=3cm，由ABCEDB，得到AC=BE，即可解决问题【解答】（1）证明：DEAB，BFE=90，ABC+DEB=90，ACB=90，ABC+A=90，A=DEB，在ABC和EDB中，ABCEDB，BD=BC（2）解：E是BC中点，BD=6cm，BD=BC，BE=BC=BD=3cm，ABCEDB，AC=BE=3cm6、【同角的余角相等】已知：如图，在ABC中，ACB=90，点D在BC上，且BD=AC，过点D作DEAB于点E，过点B作CB的垂线，交DE的延长线于点F求证：AB=DF【分析】根据余角的性质得到A=BDE，根据全等三角形的判定定理得到ABCBDF，由全等三角形的性质即可得到结论【解答】证明：ACB=FBD=90，DEAB，A+ABC=ABC+BDE=90，A=BDE在ABC与BDF中，ABCBDF，AB=DF7、【动点问题】如图，已知ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？【分析】（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，ABC=ACB，即据SAS可证得BPDCQP（2）可设点Q的运动速度为x（x3）cm/s，经过tsBPD与CQP全等，则可知PB=3tcm，PC=83tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时两三角形全等，求x的解即可【解答】解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，ABC中，AB=AC，在BPD和CQP中，BPDCQP（SAS）（2）设点Q的运动速度为x（x3）cm/s，经过tsBPD与CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=83tcm，CQ=xtcm，AB=AC，B=C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：当BD=PC，BP=CQ时，当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等