推理与证明（20130324）.doc

推理与证明（2013324）1用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容是 2用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”的第二步思路是 3用棋子按下面的方式摆出正方形：按照这种方式摆下去，第n个图形需用个棋子4设n是自然数，f(n)=，经计算可得，f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)观察上述结果，可得出的一般结论是 5分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明，设abc，且a+b+c=0，求证：索的因应是 6已知空间整数点的序列如下： (1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)，(1,1,3)，(1,3,1)，(3,1,1)，(1,2,2)，(2,1,2)，(2,2,1)，(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)则(1,5,1)是这个序列中的第 个7观察下列不等式， ， ，照此规律，第五个不等式为 8在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 9二维空间中，圆的一维测度（周长）l2pr，二维测度（面积）Spr2；三维空间中，球的二维测度（表面积）S4pr2，三维测度（体积）Vpr3 应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V8pr3，则其四维测度W 10观察下列等式： 1， 1， 1，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*， 11右下图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为“杨辉三角形”，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是12观察下列各式：a+b1，a2+b23，a3+b34，a4+b47，a5+b511，则a10+b10 13对于nN*，将n表示为nak2k+ ak12k1+a121+ a020，当ik时ai1，当0ik1时ai为0或1，定义如下：在的上述表示中，当a0，a1，a2，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0（1）b2+b4+b6+b8；（2）记cm为数列bn中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是 14将正ABC分割成n2（n2，nN*）个全等的小正三角形（图2、图3分别给出了n2，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)2， f(3)= ，f(n)= ABC图2ABC图3A(a)B(b)C(c )图4y1y2x1z2x2z1g15已知函数f(x)，（1）分别求f(2)f()，f(3)f()，f(4)f()的值；（2）归纳猜想一般性结论，并给出证明；（3）求值：f(1)f(2)f(3)f(2 013)f()f()f()16在平面几何中，研究正三角形内任一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任一点到各边的距离之和是定值a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明17用反证法证明：若a，b，c，dR，且adbc1，则a2b2c2d2abcd1.18已知a0，求证：19某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数sin213+cos217-sin13cos17；sin215+cos215-sin15cos15；sin218+cos212-sin18cos12；sin2（-18）+cos248- sin2（-18）cos248；sin2（-25）+cos255- sin2（-25）cos255；（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； （2） 根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论20在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN*)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论推理与证明答案（2013324）1用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容是 2用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”的第二步思路是 解： 因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n=2k1正确，再推第k+1个正奇数即n=2k+1正确3用棋子按下面的方式摆出正方形：按照这种方式摆下去，第n个图形需用个棋子4n4设n是自然数，f(n)=，经计算可得，f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)观察上述结果，可得出的一般结论是 解：由f(2)，f(4)f(22)，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32) f(25)，由此推知f(2n)5分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明，设abc，且a+b+c=0，求证：索的因应是 (ab)(ac)0 解：要证成立，由于abc，且a+b+c=0，a0，即证成立也就是成立整理可得(ac)(2a+c)0，又a+cb，即证(ac)(ab)0由于abc，ab0且ac0m也就是不等式(ac)(ab)0显然成立 6已知空间整数点的序列如下： (1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)，(1,1,3)，(1,3,1)，(3,1,1)，(1,2,2)，(2,1,2)，(2,2,1)，(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)则(1,5,1)是这个序列中的第 个22解：根据三个坐标之和来推断，之和为3时1个；之和为4时3个；之和为5时6个；之和为6时10个；而(1,5,1)恰好是之和为7时的第2个，因此顺序记为22个7观察下列不等式， ， ，照此规律，第五个不等式为 8在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 1：89二维空间中，圆的一维测度（周长）l2pr，二维测度（面积）Spr2；三维空间中，球的二维测度（表面积）S4pr2，三维测度（体积）Vpr3 应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V8pr3，则其四维测度W 2pr410观察下列等式： 1， 1， 1，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*， 11下图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为“杨辉三角形”，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是612观察下列各式：a+b1，a2+b23，a3+b34，a4+b47，a5+b511，则a10+b10 123提示：类似斐波那契数列13对于nN*，将n表示为nak2k+ ak12k1+a121+ a020，当ik时ai1，当0ik1时ai为0或1，定义如下：在的上述表示中，当a0，a1，a2，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0（1）b2+b4+b6+b8；（2）记cm为数列bn中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是答案：（1）3；（2）2A(a)B(b)C(c )图4y1y2x1z2x2z1g14将正ABC分割成n2（n2，nN*）个全等的小正三角形（图2、图3分别给出了n2，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)2， f(3)= ，f(n)= ABC图3ABC图2解：当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知a+b+c1，x1+x2a+b，y1+y2b+c，z1+z2c+a，x1+x2+ y1+y2+ z1+z22(a+b+c)，2gx1+ y2x2+ z1y1+ z2，6gx1+x2+ y1+y2+ z1+z22，即g，而f(3)a+b+c+ x1+x2+ y1+y2+ z1+z2+g1+2+进一步可求得f(4)5由上知f(1)中有三个数，f(2)中有6个数，f(3)中共有10个数相加 ，f(4)中有15个数相加，若f(n1)中有an1（n1）个数相加，可得f(n)中有an1+n+1个数相加，且由f(1)1，f(2)f(1)+，f(3)f(2)+，f(4)5f(3)+，可得f(n)f(n1)+，所以，f(n)f(n1)+f(n2) + + f(1)+ (n+1)( n+2)答案：，(n+1)( n+2)15已知函数f(x)，（1）分别求f(2)f()，f(3)f()，f(4)f()的值；（2）归纳猜想一般性结论，并给出证明；（3）求值：f(1)f(2)f(3)f(2 013)f()f()f()解：（1）f(x)，f(2)f()1，同理可得f(3)f()1， f(4)f()1.（2）由（1）猜想f(x)f()1，证明：f(x)f()1（3）f(1)f(2)f(3)f(2 013)f()f()f()f(1)f(2)f()f(3)f()f(2 013)f()1+1+1（共2012个1）2 01216在平面几何中，研究正三角形内任一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任一点到各边的距离之和是定值a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明解：类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和是定值a.证明：设M是正四面体PABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：VPABCVMABCVMPABVMPACVMPBCSABC(d1d2d3d4)而SABCa2，VPABCa3故d1d2d3d4a（定值）17用反证法证明：若a，b，c，dR，且adbc1，则a2b2c2d2abcd1.证明：假设a2b2c2d2abcd1，adbc1，a2b2c2d2abcdadbc0即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20必有ab0，cd0，ad0，bc0.可得abcd0与adbc1矛盾，a2b2c2d2abcd118已知a0，求证：解：要证只需证，a0，故只需证()2()2，即，从而只需证，只要证，即2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立19某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数sin213+cos217-sin13cos17；sin215+cos215-sin15cos15；sin218+cos212-sin18cos12；sin2（-18）+cos248- sin2（-18）cos248；sin2（-25）+cos255- sin2（-25）cos255；（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； （2） 根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论20在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN*)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，