2015山东春季高考数学试题(含详细答案).pdf

机密 启用前 山东省山东省 2015 年普通高校招生 春季 考试 数学试题 年普通高校招生 春季 考试 数学试题 注意事项 1 本试卷分卷一 选择题 和卷二 非选择题 两部分 满分 120 分 考试时间 120 分钟 考 试结束后 请将本试卷和答题卡一并交回 2 本次考试允许使用函数型计算器 凡使用计算器的题目 最后结果精确到 0 01 卷一 选择题 共卷一 选择题 共 60 分 一 选择题 分 一 选择题 本大题共 20 个小题 每小题 3 分 共 60 分 在每小题列出的四个选项中 只 有一项符合题目要求 请将符合题目要求的选项字母代号选出 填涂在答题卡上 1 集合 1 2 3A 1 3B 则AB 等于 A 1 2 3 B 1 3 C 1 2 D 2 考查内容 集合的交集 答案 B 2 不等式15x 的解集是 A 6 4 B 4 6 C 6 4 D 4 6 考查内容 绝对值不等式的解法 答案 B 解析 1551546xxx 3 函数 1 1yx x 的定义域是 A 10 x xx 且 B 1x x C 10 x xx 且D 1x x 4 圆心到直线的距离等于圆的半径 是 直线与圆相切 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 考查内容 充分 必要条件 答案 C 解析 圆心到直线的距离等于圆的半径 直线与圆相切 直线与圆相切 圆 心到直线的距离等于圆的半径 5 在等比数列 n a中 24 1 3aa 则 6 a的值是 A 5 B 5C 9 D 9 考查内容 等比数列的性质 答案 D 解析 24 2 3 a q a 2 64 9aa q 6 如图所示 M 是线段 OB 的中点 设向量 OAa OBb 则AM 可以表示为 第 6 题图15SD1 A 1 2 ab B 1 2 ab C 1 2 ab D 1 2 ab 考查内容 向量的线性运算 答案 B 解析 1 2 AMOMOAba 7 终边在 y 轴的正半轴上的角的集合是 A 2 2 x xkk ZB 2 x xkk Z C 2 2 x xkk ZD 2 x xkk Z 考查内容 终边相同的角的集合 答案 A 解析 终边在 y 轴正半轴上的角的集合是2 2 xkk Z 8 关于函数 2 2yxx 下列叙述错误的是 A 函数的最大值是 1B 函数图象的对称轴是直线1x C 函数的单调递减区间是 1 D 函数的图象经过点 2 0 考查内容 二次函数的图象和性质 答案 C 解析 22 2 1 1yxxx 最大值是 1 对称轴是直线1x 单调递减区间是 1 2 0 在函数图象上 9 某值日小组共有 5 名同学 若任意安排 3 名同学负责教室内的地面卫生 其余 2 名同学负 责教师外的走廊卫生 则不同的安排方法种数是 A 10B 20C 60D 100 考查内容 组合数的应用 答案 A 解析 从 5 人中选取 3 人负责教室内的地面卫生 共有 3 5 C10 种安排方法 选取 3 人后 剩下 2 名同学干的活就定了 10 如图所示 直线 l 的方程是 第 10 题图15SD2 A 330 xy B 3230 xy C 3310 xy D 310 xy 考查内容 直线的倾斜角 直线的点斜式方程 答案 D 解析 由图可得直线的倾斜角为 30 斜率 3 tan30 3 k 直线 l 与 x 轴的交点为 1 0 由直线的点斜式方程可得 l 3 0 1 3 yx 即310 xy 11 对于命题 p q 若pq 是假命题 pq 是真命题 则 A p q 都是真命题B p q 都是假命题C p q 一个是真命题一个是假命题 D 无法判断 考查内容 逻辑联结词 答案 C 解析 由pq 是假命题可知 p q 至少有一个假命题 由pq 是真命题可知 p q 至少有一 个真命题 p q 一个是真命题一个是假命题 12 已知函数 f x是奇函数 当0 x 时 2 2f xx 则 1 f 的值是 A 3 B 1 C 1D 3 考查内容 奇函数的性质 答案 A 解析 2 1 1 12 3ff 13 已知点 2 P m 在函数 1 3 logyx 的图象上 点 A 的坐标是 4 3 则AP 的值是 A 10B 2 10C 6 2D 5 2 考查内容 对数的运算 向量的坐标运算 向量的模 答案 D 解析 点 2 P m 在函数 1 3 logyx 的图象上 2 1 3 1 log2 9 3 mm P 点坐标为 9 2 5 5 5 2APAP 14 关于 x y 的方程 22 1xmy 给出下列命题 当0m 时 方程表示双曲线 当0m 时 方程表示抛物线 当01m 时 方程表示椭圆 当1m 时 方程表示等轴双曲线 当1m 时 方程表示椭圆 其中 真命题的个数是 A 2B 3C 4D 5 考查内容 椭圆 双曲线和抛物线的标准方程 等轴双曲线的概念 答案 B 解析 当0m 时 方程表示双曲线 当0m 时 方程表示两条垂直于 x 轴的直线 当 01m 时 方程表示焦点在 y 轴上的椭圆 当1m 时 方程表示圆 当1m 时 方程表 示焦点在 x 轴上的椭圆 正确 15 5 1 x 的二项展开式中 所有项的二项式系数之和是 A 0B 1 C 32 D 32 考查内容 二项式定理 答案 D 解析 所有项的二项式系数之和为 012345 555555 CCCCCC32 16 不等式组 10 30 xy xy 表示的区域 阴影部分 是 ABCD 15SD315SD415SD515SD6 考查内容 不等式组表示的区域 答案 C 解析 可以用特殊点 0 0 进行验证 00 10 0030 非严格不等式的边界用 虚线表示 该不等式组表示的区域如 C 选项中所示 17 甲 乙 丙三位同学计划利用假期外出游览 约定每人从泰山 孔府这两处景点中任选 一处 则甲 乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是 A 2 9 B 2 3 C 1 4 D 1 2 考查内容 古典概率 答案 D 解析 甲 乙两位同学选取景点的不同种数为2 24 其中甲 乙两位同学恰好选取同 一处景点的种数为 2 故所求概率为 21 42 18 已知向量 cos sin cos sin 12121212 ab 则a b 的值等于 A 1 2 B 3 2 C 1D 0 考查内容 余弦函数的两角差公式 向量的内积的坐标运算 答案 A 解析 1 sincoscossinsin 1212121262 a b 19 已知 表示平面 m n 表示直线 下列命题中正确的是 A 若m mn 则n B 若m n 则mn C 若 m 则m D 若m n m n 则 考查内容 空间直线 平面的位置关系 答案 C 解析 A 若m mn 则n 或 n 在 内 B 若m n 则mn 或 m 与 n 异面 D 若m n m n 且 m n 相交才能判定 根据 两平面平行的性质可知 C 正确 20 已知 1 F是双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左焦点 点 P 在双曲线上 直线 1 PF与 x 轴垂直 且 1 PFa 则双曲线的离心率是 A 2B 3C 2D 3 考查内容 双曲线的简单几何性质 答案 A 解析 1 F的坐标为 0 c 设 P 点坐标为 0 c y 22 0 22 1 yc ab 解得 2 0 b y a 由 1 PFa 可得 2 b a a 则ab 该双曲线为等轴双曲线 离心率为2 卷二 非选择题 共卷二 非选择题 共 60 分 二 填空题 分 二 填空题 本大题共 5 个小题 每小题 4 分 共 20 分 请将答案填在答题卡相应题号的横 线上 21 直棱柱的底面是边长为 a 的菱形 侧棱长为 h 则直棱柱的侧面积是 考查内容 直棱柱的侧面积 答案 4ah 22 在 ABC 中 105A 45C 2 2AB 则 BC 考查内容 正弦定理 答案 2 6 解析 由正弦定理可知 sinsin ABBC CA sin2 2sin105 62 sin2 2 ABA BC C 23 计划从 500 名学生中抽取 50 名进行问卷调查 拟采用系统抽样方法 为此将他们逐一编 号为 1 500 并对编号进行分段 若从第一个号码段中随机抽出的号码是 2 则从第五个号 码段中抽取的号码应是 考查内容 系统抽样 答案 42 解析 从 500 名学生中抽取 50 名 则每两相邻号码之间的间隔是 10 第一个号码是 2 则第五个号码段中抽取的号码应是24 1042 24 已知椭圆的中心在坐标原点 右焦点与圆 22 670 xyx 的圆心重合 长轴长等于圆的 直径 则短轴长等于 考查内容 椭圆的简单几何性质 答案 2 7 解析 圆 22 670 xyx 的圆心为 3 0 半径为 4 则椭圆的长轴长为 8 即3 4ca 22 7bac 则短轴长为2 7 25 集合 M N S都是非空集合 现规定如下运算 MNSx xMNNSSM 且 xMNS 若集合 Ax axbBx cxd Cx exf 其中实数 a b c d e f 满 足 0 0 0abcdef abcdef abcdef 则 ABC 考查内容 不等式的基本性质 集合的交集和并集 答案 x cxebxd 或 解析 abcd acdb abcd acbd bddb bd 同理可得df bdf 由 可得0acebdf 则 ABx cxb BCx exd CAx exb ABC x cxebxd 或 三 解答题三 解答题 本大题共 5 小题 共 40 分 请在答题卡相应的题号处写出解答过程 26 本小题 6 分 某学校合唱团参加演出 需要把 120 名演员排成 5 排 并且从第二排起 每排比前一排多 3 名 求第一排应安排多少名演员 考查内容 等差数列的实际应用 解 由题意知各排人数构成等差数列 n a 设第一排人数是 1 a 则公差3d 前 5 项和 5 120S 因为 1 1 2 n n n Snad 所以 1 5 4 12053 2 a 解得 1 18a 答 第一排应安排 18 名演员 27 本小题 8 分 已知函数2sin 2 yxx R 0 2 函数的部分图象如图所示 求 1 函数的最小正周期 T 及 的值 2 函数的单调递增区间 15SD7第 27 题图 考查内容 正弦型函数的图象和性质 解 1 函数的最小正周期 2 2 T 因为函数的图象过点 0 1 所以2sin1 即 1 sin 2 又因为0 2 所以 6 2 因为函数sinyx 的单调递增区间是 2 2 22 kkk Z 所以222 262 kxk 解得 36 kxk 所以函数的单调递增区间是 36 kkk Z 28 本小题 8 分 已知函数 x f xa 0a 且1a 在区间 2 4 上的最大值是 16 1 求实数 a 的值 2 若函数 2 2 log 32 g xxxa 的定义域是 R 求满足不等式log 12 1 a t 的实数 t 的取值 范围 考查内容 指数函数的单调性 解 1 当01a 时 函数 f x在区间 2 4 上是减函数 所以当2x 时 函数 f x取得最大值 16 即 2 16a 所以 1 4 a 当1a 时 函数 f x在区间 2 4 上是增函数 所以当4x 时 函数 f x取得最大值 16 即 4 16a 所以2a 2 因 为 2 2 log 32 g xxxa 的 定 义 域 是 R 即 2 320 xxa 恒 成 立 所 以 方 程 2 320 xxa 的判别式0 即 2 3 4 20a 解得 9 8 a 又因为 1 4 a 或2a 所以 2a 代入不等式得 2 log 12 1t 即0122t 解得 11 22 t 所以实数 t 的取值范 围是 1 1 2 2 29 本小题 9 分 如图所示 在四棱锥SABCD 中 底面 ABCD 是正方形 平面SAD 平面 ABCD 2 3SASDAB 1 求 SA 与 BC 所成角的余弦值 2 求证 ABSD 15SD8第 29 题图 考查内容 异面直线所成的角 直线与平面垂直的判定和性质 解 1 因为ADBC 所以SAD 即为 SA 与 BC 所成的角 在 SAD 中 2SASD 又在正方形 ABCD 中3ADAB 所以 222222 232 cos 22 2 3 SAADSD SAD SA AD 3 4 所以 SA 与 BC 所成角的余弦值是 3 4 2 因为平面SAD 平面 ABCD 平面SAD 平面 ABCDAD 在正方形 ABCD 中 ABAD 所以AB 平面 SAD 又因为SD 平面 SAD 所以ABSD 30 本小题 9 分 已知抛物线的顶点是坐标原点 O 焦点 F 在 x 轴的正半轴上 Q 是抛物线上 的点 点 Q 到焦点 F 的距离是 1 且到 y 轴的距离是 3 8 1 求抛物线的标准方程 2 若直线 l 经过点 M 3 1 与抛物线相交于 A B 两点 且OAOB 求直线 l 的方程 15SD10第 30 题图 考查内容 抛物线的定义 标准方程和性质 直线与抛物线的位置关系 解 1 由已知