微积分09-10-2复习题.doc

一 填空题1. 设函数连续，且则 8 。2. 设函数连续，且则 4 。3. 设f(x)连续，则 4 设函数连续，则 5 。6 7 -1 8设 9设 .10设 11设D为，则 12. 设D为，则 13. 设函数连续，且则 。14. . 15. 1 。16. 设,则 . 17、5. 设D为，则 二 选择题1. 下列广义积分收敛的是（ C ）。A ， B. , C. ， D 2. 下列广义积分收敛的是 （ C ）A、； B、； C、； D、；3. 由相交于点(x1, y1)及(x2, y2) (其中x10，y=g(x)0所围图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积是 （ B ） A、； B、；C、； D、4. 偏导数存在是函数在点连续的（ C ）。A. 充分条件， B. 必要条件，C. 既不充分也不必要条件，D. 充分必要条件5. 函数在点处可导与可微的关系是 ( D )A. 可微不一定可导， B. 可导一定不可微, C. 可导一定可微， D. 可微必可导。6. 设函数z=f(x,y)在点处且可微，则函数f(x,y)在点处 （ C ）A. 必有极大值， B. 必有极小值， C. 可能有极值，也可能无极值， D. 必无极值。7. 设有二阶连续偏导数，则 （ A ）A. , B. C. , D. 8. 已知，则 （ D ） A. 1 , B. 3 , C . , D. 9. 设存在，则=（ C ）.A、 ; B、 ; C、2; D、10. 设存在，则=（ A ）.A、 ; B、 ; C、2; D、11函数，则（ D ） A、； B、； C、； D、.12. 函数，则（ D ） A、； B、； C、； D、13. ，其中具有二阶连续偏导数 ，则 （ C ） A. ; B. ; C. ; D. 14. 设在有界闭区域D=上连续，则=（ B ）.A. B. C. D. 以上均不对。.15. 若D是单位园在第一象限的部分 ，则=（ D ） A. ； B. ；C. ； D. 三 计算题1. （ 令 ）=2. 求 解法一：令原式= 解法二：3. 4. 设，求,。10. 已知，求 。11. 设，其中具有二阶连续偏导数，求。解 ： ； ；12. 设，其中具有二阶连续偏导数，求。解 ： ； ；13. 交换积分次序，并求时的积分值。I = ；14. 交换积分次序，并求时的积分值。I = ； 15. 求，其中D是由与直线所围成的在第一象限的区域。 16. 设，求。17. 设，求。 18. 计算，其中D为 解 四综合应用题1. 1设平面图形由。（1）求该图形的面积。（2）求该图形绕绕x轴旋转一周所生成立体的体积。解：（1） 2. 求曲线与直线x+y=5所围成的平面图形绕轴旋转所得的旋转体的体积解： 得(1，4)、(4，1) 3. 求曲线在区间（2，6）内的一点，使该点处的切线与直线所围成的图形面积最小。解： 设点为，过该点的切线的斜率为，过该点的切线方程为：，点为又 ，故即为所求。4. 设f(x)连续，求 将 两边对x求导得：故 。5. 某厂家的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为和；销量分别为和，其中；总成本。试问：厂家如何确定来年各个市场的售价，能使获得总利润最大？最大利润为多少？ 解：总利润 又 所以，当，时，能获得总利润最大，最大利润为 。 6. 已知分别用x（单位）和y（单位）的原材料A和B,可生产某种产品且每单位原材料A和B的售价之比为2 : 1,今欲以最低成本生产2240单位的产品，问需要原材料A和B各多少单位？解：设成本函数为 本题求 构造拉格朗日函数 解联立方程组 ，得驻点 即为所求。 7. 已知，求f(x)在0,1上的最大值、最小值.解： f(x)在0,1单增 所以 f(0)=0为f(x)在 0,1上的最小值 所以 f(1)为f(x)在 0,1上的最大值 = 8. 设，求的值使 。 9. 设在上可微，且满足，证明：存在，使得 证明：设，由积分中值定理 在上满足罗尔定理条件，且至少存在点， 使 即 10. 设在a,b上连续，利用二重积分证明 ，其中等号仅当为常数时成立。 证：因 在a,b上连续，易知，在a,b上连续， 构造 在区域 上连续 当且仅当 常数是成立。考察