(人教版)高中数学必修四教案全集(1).pdf

1 第一章 三角函数 1 1 任意角和弧度制 1 1 1 任意角 一 教学目标 1 知识与技能 1 推广角的概念 引入大于360 角和负角 2 理解并掌握正 角 负角 零角的定义 3 理解任意角以及象限角的概念 4 掌 握所有与 角终边相同的角 包括 角 的表示方法 5 树立运动 变化观点 深刻理解推广后的角的概念 6 揭示知识背景 引发学 生学习兴趣 7 创设问题情景 激发学生分析 探求的学习态度 强化学生的参与意识 2 过程与方法 通过创设情境 转体720 逆 顺 时针旋转 角有大于360 角 零角和旋转方向不同所形成的角等 引入正角 负角和零角的概念 角的概念得到推广以后 将角放入平面直角坐标系 引入象限角 非 象限角的概念及象限角的判定方法 列出几个终边相同的角 画出终 边所在的位置 找出它们的关系 探索具有相同终边的角的表示 讲 解例题 总结方法 巩固练习 3 情态与价值 通过本节的学习 使同学们对角的概念有了一个新的认识 即有 正角 负角和零角之分 角的概念推广以后 知道角之间的关系 理解 掌握终边相同角的表示方法 学会运用运动变化的观点认识事物 二 教学重 难点 重点 理解正角 负角和零角的定义 掌握终边相同角的表示法 难点 终边相同的角的表示 2 三 学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角 最小的角是零角 通过 回忆和观察日常生活中实际例子 把对角的理解进行了推广 把角放 入坐标系环境中以后 了解象限角的概念 通过角终边的旋转掌握终 边相同角的表示方法 我们在学习这部分内容时 首先要弄清楚角的 表示符号 以及正负角的表示 另外还有相同终边角的集合的表示等 教学用具 电脑 投影机 三角板 四 教学设想 创设情境 思考 你的手表慢了 5 分钟 你是怎样将它校准的 假如你的手表 快了 1 25 小时 你应当如何将它校准 当时间校准以后 分针转了多少度 取出一个钟表 实际操作 我们发现 校正过程中分针需要正向或 反向旋转 有时转不到一周 有时转一周以上 这就是说角已不仅仅 局限于0360 之间 这正是我们这节课要研究的主要内容 任意 角 探究新知 1 初中时 我们已学习了0360 角的概念 它是如何定义的呢 展示投影 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所成的图形 如图 1 1 1 一条射线由原来的位置OA 绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB 就形成角 旋转 开始时的射线OA叫做角的始边 OB叫终边 射线的端点O叫做叫 的 顶点 2 如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经 常听到这样的术语 转体720 即转体 2 周 转体1080 即 3 转体 3 周 等 都是遇到大于360 的角以及按不同方向旋转而成的角 同学们思考一下 能否再举出几个现实生活中 大于360 的角或按不 同方向旋转而成的角 的例子 这些说明了什么问题 又该如何区分和 表示这些角呢 展示课件 如自行车车轮 螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同 的角 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性 为了区别起见 我们规定 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角 positive angle 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角 negative angle 如果一条射 线没有做任何旋转 我们称它形成了一个零角 zero angle 展示课件 如教材图 1 1 3 1 中的角是一个正角 它等于750 图 1 1 3 2 中 正角210 负角150 660 这样 我们就 把角的概念推广到了任意角 any angle 包括正角 负角和零角 为 了简单起见 在不引起混淆的前提下 角 或 可简记为 3 在今后的学习中 我们常在直角坐标系内讨论角 为此我们必 须了解象限角这个概念 角的顶点与原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 那么 角的终边 除端点外 在第几象限 我们就说这个角是第几象限角 quadrant angle 如教材图 1 1 4 中的30 角 210 角分别是第一象 限角和第三象限角 要特别注意 如果角的终边在坐标轴上 就认为这 个角不属于任何一个象限 称为非象限角 4 展示投影 练习 1 口答 锐角是第几象限角 第一象限角一定是锐角吗 再分别 4 就直角 钝角来回答这两个问题 2 回答 今天是星期三那么7 k kZ 天后的那一天是星期几 7 k kZ 天前的那一天是星期几 100 天后的那一天是星期几 5 探究 将角按上述方法放在直角坐标系中后 给定一个角 就有 唯一的一条终边与之对应 反之 对于直角坐标系中任意一条射线 OB 如图 1 1 5 以它为终边的角是否唯一 如果不惟一 那么终边相 同的角有什么关系 请结合 4 2 口答加以分析 展示课件 不难发现 在教材图 1 1 5 中 如果32 的终边是OB 那么328 392 角的终边都是OB 而 328321 360 39232 1 360 设 32360 SkkZ 则328 392 角都是S的元素 32 角也是S的元素 因此 所有与32 角终边相同的角 连同32 角在内 都是集合S的元素 反过来 集合S的任一元素显然与32 角终边相 同 一般地 我们有 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构 成一个集合 360 SkkZ 即任一与角 终边相同的角 都可以表示成 角 与整数个周角的和 6 展示投影 例题讲评 例 1 例 1 在0360 范围内 找出与950 12 角终边相同的角 并判定它是第几象限角 注 0360 是指0360 例 2 写出终边在y轴上的角的集合 5 例 3 写出终边直线在yx 上的角的集合S 并把S中适合不等式 360 720 的元素 写出来 7 展示投影 练习 教材 6 P第 3 4 5 题 注意 1 kZ 2 是任意角 正角 负角 零角 3 终边相同的角不一定相等 但相等的角 终边一定相同 终边相同的 角有无数多个 它们相差360 的整数倍 8 学习小结 1 你知道角是如何推广的吗 2 象限角是如何定义的呢 3 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗 会写终边落在x轴 y轴 直 线yx 上的角的集合 五 评价设计 1 作业 习题 1 1 A 组第 1 2 3 题 2 多举出一些日常生活中的 大于360 的角和负角 的例子 熟 练掌握他们的表示 进一步理解具有相同终边的角的特点 6 1 1 任意角和弧度制 1 1 2 弧度制 一 教学目标 1 知识与技能 1 理解并掌握弧度制的定义 2 领会弧度制定义的合理性 3 掌握并运用弧度制表示的弧长公式 扇形面积公式 4 熟练 地进行角度制与弧度制的换算 5 角的集合与实数集R之间建立的 一一对应关系 6 使学生通过弧度制的学习 理解并认识到角度制 与弧度制都是对角度量的方法 二者是辨证统一的 而不是孤立 割 裂的关系 2 过程与方法 创设情境 引入弧度制度量角的大小 通过探究理解并掌握弧度 制的定义 领会定义的合理性 根据弧度制的定义推导并运用弧长公 式和扇形面积公式 以具体的实例学习角度制与弧度制的互化 能正 确使用计算器 3 情态与价值 通过本节的学习 使同学们掌握另一种度量角的单位制 弧度 制 理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法 二者是辨证 统一的 而不是孤立 割裂的关系 角的概念推广以后 在弧度制下 角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系 即每一个角都有唯一 的一个实数 即这个角的弧度数 与它对应 反过来 每一个实数也都 有唯一的一个角 即弧度数等于这个实数的角 与它对应 为下一节 学习三角函数做好准备 二 教学重 难点 7 重点 理解并掌握弧度制定义 熟练地进行角度制与弧度制地互 化换算 弧度制的运用 难点 理解弧度制定义 弧度制的运用 三 学法与教学用具 在我们所掌握的知识中 知道角的度量是用角度制 但是为了以 后的学习 我们引入了弧度制的概念 我们一定要准确理解弧度制的 定义 在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化 教学用具 计算器 投影机 三角板 四 教学设想 创设情境 有人问 海口到三亚有多远时 有人回答约 250 公里 但也有人 回答约 160 英里 请问那一种回答是正确的 已知 1 英里 1 6 公 里 显然 两种回答都是正确的 但为什么会有不同的数值呢 那是 因为所采用的度量制不同 一个是公里制 一个是英里制 他们的长 度单位是不同的 但是 他们之间可以换算 1 英里 1 6 公里 在角度的度量里面 也有类似的情况 一个是角度制 我们已经 不再陌生 另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制 弧度制 探究新知 1 角度制规定 将一个圆周分成 360 份 每一份叫做 1 度 故 一周等于 360 度 平角等于 180 度 直角等于 90 度等等 弧度制是什么呢 1 弧度是什么意思 一周是多少弧度 半周 呢 直角等于多少弧度 弧度制与角度制之间如何换算 请看课本 67 PP 自行解决上述问题 2 弧度制的定义 8 展示投影 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角 记作 1rad 或 1 弧度 或 1 单位可以省略不写 3 探究 如图 半径为r的圆的圆心与原点重合 角 的终边与x 轴的正半轴重合 交圆于点A 终边与圆交于点B 请完成表格 弧AB的 长 OB旋转的方 向 AOB 的弧度 数 AOB 的度 数 r 逆时针方向 2 r 逆时针方向 r 1 2r 2 0 180 180 我们知道 角有正负零角之分 它的弧度数也应该有正负零之分 如 2 等等 一般地 正角的弧度数是一个正数 负角的弧度 数是一个负数 零角的弧度数是 0 角的正负主要由角的旋转方向来 决定 4 思考 如果一个半径为r的圆的圆心角 所对的弧长是l 那么 a的弧度数是多少 角 的弧度数的绝对值是 r l 其中 l 是圆心角所对的弧长 y x A O B 9 r是半径 5 根据探究中180rad 填空 1 rad 1 rad 度 显然 我们可以由此角度与弧度的换算了 6 例题讲解 例 1 按照下列要求 把 67 30 化成弧度 1 精确值 2 精确到 0 001 的近似值 例 2 将 3 14rad换算成角度 用度数表示 精确到 0 001 注意 角度制与弧度制的换算主要抓住180rad 另外注意计算 器计算非特殊角的方法 7 填写特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0 30 45 120 120 120 120 弧 度 3 2 3 2 角的概念推广以后 在弧度制下 角的集合与实数集R之间建立了 一一对应关系 即每一个角都有唯一的一个实数 即这个角的弧度数 与它对应 反过来 每一个实数也都有唯一的一个角 即弧度数等于 这个实数的角 与它对应 8 例题讲评 例 3 利用弧度制证明下列关于扇形的公式 1 lR 2 2 1 2 SR 3 1 2 SlR 10 其中R是半径 l是弧长 02 为圆心角 S是扇形的面积 例 4 利用计算器比较sin1 5和sin85 的大小 注意 弧度制定义的理解与应用 以及角度与弧度的区别 9 练习 教材 10 P 9 学习小结 1 你知道角弧度制是怎样规定的吗 2 弧度制与角度制有何不同 你能熟练做到它们相互间的转化 吗 五 评价设计 1 作业 习题 1 1 A 组第 7 8 9 题 2 要熟练掌握弧度制与角度制间的换算 以及异同 能够使用计 算器求某角的各三角函数值 1 2 任意角的三角函数 1 2 1 任意角的三角函数 一 一 教学目标 1 知识与技能 1 掌握任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函 数的定义域和函数值在各象限的符号 2 理解任意角的三角函数 不同的定义方法 3 了解如何利用与单位圆有关的有向线段 将任 意角 的正弦 余弦 正切函数值分别用正弦线 余弦线 正切线表 示出来 4 掌握并能初步运用公式一 5 树立映射观点 正确理 解三角函数是以实数为自变量的函数 11 2 过程与方法 初中学过 锐角三角函数就是以锐角为自变量 以比值为函数值 的函数 引导学生把这个定义推广到任意角 通过单位圆和角的终边 探讨任意角的三角函数值的求法 最终得到任意角三角函数的定义 根据角终边所在位置不同 分别探讨各三角函数的定义域以及这三种 函数的值在各象限的符号 最后主要是借助有向线段进一步认识三角 函数 讲解例题 总结方法 巩固练习 3 情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法 而且各种定义都有自 己的特点 过去习惯于用角的终边上点的坐标的 比值 来定义 这 种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广 有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数 但它对准确 把握三角函数的本质有一定的不利影响 从角的集合到比值的集合 的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的 数集到数集 的对应关 系有冲突 而且 比值 需要通过运算才能得到 这与函数值是一个 确定的实数也有不同 这些都会影响学生对三角函数概念的理解 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数 余弦函数 这个定义清楚地表明了正弦 余弦函数中从自变量到函数值之间的对 应关系 也表明了这两个函数之间的关系 二 教学重 难点 重点 任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数 的定义域和函数值在各象限的符号 终边相同的角的同一三角函数 值相等 公式一 难点 任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数 12 的定义域和函数值在各象限的符号 三角函数线的正确理解 三 学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法 本节利用单位圆上点 的坐标定义任意角的正弦函数 余弦函数 表明了正弦 余弦函数中 从自变量到函数值之间的对应关系 也表明了这两个函数之间的关 系 另外 这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直 接 数形结合更加紧密 这就为后续内容的学习带来方便 也使三角 函数更加好用了 教学用具 投影机 三角板 圆规 计算器 四 教学设想 第一课时 任意角的三角函数 一 创设情境 提问 锐角 O 的正弦 余弦 正切怎样表示 借助右图直角三角形 复习回顾 引入 锐角三角函数就是以锐角为自变量 以比值为函数值的函 数 数 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数 吗 如图 设锐角 的顶点与原点O重合 始边与x轴的正半轴重合 那 么它的终边在第一象限 在 的终边上任 取 一 点 P a b 它 与 原 点 的 距 离 22 0rab 过P作x轴的垂线 垂足为 y P a b r O M a的终边 P x y O x y 13 M 则线段OM的长度为a 线段MP的长度为b 则sin MPb OPr cos OMa OPr tan MPb OMa 思考 对于确定的角 这三个比值是否会随点P在 的终边上 的位置的改变而改变呢 显然 我们可以将点取在使线段OP的长1r 的特殊位置上 这样 就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数 sin MP b OP cos OM a OP tan MPb OMa 思考 上述锐角 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示 那 么 角的概念推广以后 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行 修改 以利推广到任意角呢 本节课就研究这个问题 任意角的三 角函数 探究新知 1 探究 结合上述锐角 的三角函数值的求法 我们应如何求解 任意角的三角函数值呢 显然 我们只需在角的终边上找到一个点 使这个点到原点的距离 为 1 然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了 所以 我们在此 引入单位圆的定义 在直角坐标系中 我们称以原点O为圆心 以单位 长度为半径的圆 2 思考 如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义 如图 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点 P x y 那么 1 y叫做 的正弦 sine 记做sin 即siny 2 x叫做 的余弦 cossine 记做cos 即cosx 14 3 y x 叫做 的正切 tangent 记做tan 即tan 0 y x x 注意 当 是锐角时 此定义与初中定义相同 指出对边 邻边 斜边所在 当 不是锐角时 也能够找出三角函数 因为 既然有 角 就必然有终边 终边就必然与单位圆有交点 P x y 从而就必然 能够最终算出三角函数值 3 思考 如果知道角终边上一点 而这个点不是终边与单位圆的交 点 该如何求它的三角函数值呢 前面我们已经知道 三角函数的值与点P在终边上的位置无关 仅 与角的大小有关 我们只需计算点到原点的距离 22 rxy 那么 22 sin y xy 22 cos x xy tan y x 所以 三角函数是以为自变量 以单位圆上点的坐标或坐标 的比值为函数值的函数 又因为角的集合与实数集之间可以建立一一 对应关系 故三角函数也可以看成实数为自变量的函数 4 例题讲评 例 1 求 5 3 的正弦 余弦和正切值 例 2 已知角 的终边过点 0 3 4 P 求角 的正弦 余弦和正切 值 教材给出这两个例题 主要是帮助理解任意角的三角函数定义 我也可以尝试其他方法 如例 2 设3 4 xy 则 22 3 4 5r 于是 4 sin 5 y r 3 cos 5 x r 4 tan 3 y x 5 巩固练习 17 P第 1 2 3 题 15 6 探究 请根据任意角的三角函数定义 将正弦 余弦和正切函数 的定义域填入下表 再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格 中 三角函 数 定义域 第一象 限 第二象 限 第三象 限 第四象 限 角度制 弧度制 sin cos tan 7 例题讲评 例 3 求证 当且仅当不等式组 sin0 tan 0 成立时 角 为第三象限 角 8 思考 根据三角函数的定义 终边相同的角的同一三角函数值 有和关系 显然 终边相同的角的同一三角函数值相等 即有公式一 sin 2 sink cos 2 cosk 其中kZ tan 2 tank 9 例题讲评 例 4 确定下列三角函数值的符号 然后用计算器验证 1 cos250 2 sin 4 3 tan 672 4 tan3 例 5 求下列三角函数值 16 1 sin148010 2 9 cos 4 3 11 tan 6 利用公式一 可以把求任意角的三角函数值 转化为求0到 2 或0 到360 角的三角函数值 另外可以直接利用计算器求三角 函数值 但要注意角度制的问题 10 巩固练习 17 P第 4 5 6 7 题 11 学习小结 1 本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同 2 你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗 3 请写出各三角函数的定义域 4 终边相同的角的同一三角函数值有什么关系 你在解题时会准 确熟练应用公式一吗 五 评价设计 1 作业 习题 1 2 A 组第 1 2 题 2 比较角概念推广以后 三角函数定义的变化 思考公式一的本 质是什么 要做到熟练应用 另外 关于三角函数值在各象限的符号要 熟练掌握 知道推导方法 第二课时 任意角的三角函数 二 复习回顾 1 三角函数的定义 17 2 三角函数在各象限角的符号 3 三角函数在轴上角的值 4 诱导公式 一 终边相同的角的同一三角函数的值相等 5 三角函数的定义域 要求 记忆 并指出 三角函数没有定义的地方一定是在轴上角 所以 凡是碰到轴上角时 要结合定义进行分析 并要求在理解的基 础上记忆 探究新知 1 引入 角是一个图形概念 也是一个数量概念 弧度数 作 为角的函数 三角函数是一个数量概念 比值 但它是否也是一 个图形概念呢 换句话说 能否用几何方式来表示三角函数呢 2 边描述边画 以坐标原点为圆心 以单位长度 1 为半径画一个圆 这个圆 就叫做单位圆 注意 这个单位长度不 一定就是 1 厘米或 1 米 当角 为第一 象限角时 则其终边与单位圆必有一个 交点 P x y 过点P作PMx 轴交x轴于 点M 则请你观察 根据三角函数的定义 sin MPy cos OMx 随着 在第一象限内转动 MP OM是否也跟着变化 3 思考 1 为了去掉上述等式中的绝对值符号 能否给线段MP OM规定一个适当的方向 使它们的取值与点P的坐标一致 O x y a 角 的 终 P T M A 18 2 你能借助单位圆 找到一条如MP OM一样的线段来表示 角 的正切值吗 我们知道 指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关 当角 的终边不在坐标轴时 以O为始点 M为终点 规定 当线段OM与x轴同向时 OM的方向为正向 且有正值x 当线 段OM与x轴反向时 OM的方向为负向 且有正值x 其中x为P点 的横坐标 这样 无论那种情况都有 cosOMx 同理 当角 的终边不在x轴上时 以M为始点 P为终点 规定 当线段MP与y轴同向时 MP的方向为正向 且有正值y 当线 段MP与y轴反向 时 MP的方向为负向 且有正值y 其中y为P点的横坐标 这样 无论那种情况都有 sinMPy 4 像MPOM 这种被看作带有方向的线段 叫做有向线段 direct line segment 5 如何用有向线段来表示角 的正切呢 如上图 过点 1 0 A作单位圆的切线 这条切线必然平行于轴 设 它与 的终边交于点T 请根据正切函数的定义与相似三角形的知识 借助有向线段OAAT 我们有 tan y AT x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MPOMAT 分别叫做 角 的正弦线 余弦线 正切线 统称为三角函数线 19 6 探究 1 当角 的终边在第二 第三 第四象限时 你能分 别作出它们的正弦线 余弦线和正切线吗 2 当 的终边与x轴或y轴重合时 又是怎样的情形呢 7 例题讲解 例 1 已知 42 试比较 tan sin cos 的大小 处理 师生共同分析解答 目的体会三角函数线的用处和实质 8 练习 19 P第 1 2 3 4 题 9 学习小结 1 了解有向线段的概念 2 了解如何利用与单位圆有关的有向线段 将任意角 的正弦 余弦 正切函数值分别用正弦线 余弦线 正切线表示出来 3 体会三角函数线的简单应用 评价设计 20 1 作业 比较下列各三角函数值的大小 不能使用计算器 1 sin15 tan15 2 cos15018 cos121 3 5 tan 5 2 练习三角函数线的作图 1 2 任意角的三角函数 1 2 2 同角三角函数的基本关系 一 教学目标 1 知识与技能 1 使学生掌握同角三角函数的基本关系 2 已知某角的一个 三角函数值 求它的其余各三角函数值 3 利用同角三角函数关系 式化简三角函数式 4 利用同角三角函数关系式证明三角恒等式 5 牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题 提 高学生分析 解决三角问题的能力 6 灵活运用同角三角函数关系 式的不同变形 提高三角恒等变形的能力 进一步树立化归思想方法 7 掌握恒等式证明的一般方法 2 过程与方法 由圆的几何性质出发 利用三角函数线 探究同一个角的不同三 角函数之间的关系 学习已知一个三角函数值 求它的其余各三角函 数值 利用同角三角函数关系式化简三角函数式 利用同角三角函数 21 关系式证明三角恒等式等 通过例题讲解 总结方法 通过做练习 巩 固所学知识 3 情态与价值 通过本节的学习 牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活 运用于解题 提高学生分析 解决三角问题的能力 进一步树立化归 思想方法和证明三角恒等式的一般方法 二 教学重 难点 重点 公式1cossin 22 及 tan cos sin 的推导及运用 1 已 知某任意角的正弦 余弦 正切值中的一个 求其余两个 2 化简 三角函数式 3 证明简单的三角恒等式 难点 根据角 终边所在象限求出其三角函数值 选择适当的方 法证明三角恒等式 三 学法与教学用具 利用三角函数线的定义 推导同角三角函数的基本关系式 1cossin 22 及 tan cos sin 并灵活应用求三角函数值 化减三角函 数式 证明三角恒等式等 教学用具 圆规 三角板 投影 四 教学设想 创设情境 与初中学习锐角三角函数一样 本节课我 们来研究同角三角函数之间关系 弄清同角各 不同三角函数之间的联系 实现不同函数值之 间的互相转化 探究新知 1 探究 三角函数是以单位圆上点的坐标 来定义的 你能从圆的几何性质出发 讨论一 O x y P M 1 A 1 22 下同一个角不同三角函数之间的关系吗 如图 以正弦线MP 余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三 角形 而且1OP 由勾股定理由 22 1MPOM 因此 22 1xy 即 22 sincos1 根据三角函数的定义 当 2 akkZ 时 有 sin tan cos 这就是说 同一个角 的正弦 余弦的平方等于 1 商等于角 的 正切 2 例题讲评 例 6 已知 3 sin 5 求cos tan 的值 sin cos tan 三者知一求二 熟练掌握 3 巩固练习 23 P页第 1 2 3 题 4 例题讲评 例 7 求证 cos1 sin 1 sincos xx xx 通过本例题 总结证明一个三角恒等式的方法步骤 5 巩固练习 23 P页第 4 5 题 6 学习小结 1 同 角 三角 函 数 的 关 系 式 的 前 提 是 同 角 因 此 1c o ss in 22 cos sin tan 2 利用平方关系时 往往要开方 因此要先根据角所在象限 确定符号 即要就角所在象限进行分类讨论 五 评价设计 1 作业 习题 1 2A 组第 10 13 题 23 2 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式 试将关系式变形等 得到其他几个常用的关 系式 注意三角恒等式的证明方法与步骤 本章内容介绍 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的 是近代数学中 重要和基本的数学概念之一 有深刻的几何背景 是解决几何问题的 有力工具 向量概念引入后 全等和平行 平移 相似 垂直 勾股 定理就可转化为向量的加 减 法 数乘向量 数量积运算 从而把 图形的基本性质转化为向量的运算体系 向量是沟通代数 几何与三角函数的一种工具 有着极其丰富的 实际背景 在本章中 学生将了解向量丰富的实际背景 理解平面向 量及其运算的意义 学习平面向量的线性运算 平面向量的基本定理 及坐标表示 平面向量的数量积 平面向量应用五部分内容 能用向 量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题 24 本节从物理上的力和位移出发 抽象出向量的概念 并说明了向量与 数量的区别 然后介绍了向量的一些基本概念 让学生对整章有个 初步的 全面的了解 1 2 1 1 了解向量的实际背景 理解平面向量的概念和向量的几何表示 掌握向量的模 零向量 单位向量 平行向量 相等向量 共线 向量等概念 并会区分平行向量 相等向量和共线向量 2 通过对向量的学习 使学生初步认识现实生活中的向量和数量的 本质区别 3 通过学生对向量与数量的识别能力的训练 培养学生认识客观事 物的数学本质的能力 理解并掌握向量 零向量 单位向量 相等向量 共线向 量的概念 会表示向量 平行向量 相等向量和共线向量的区别和联系 本节是本章的入门课 概念较多 但难度不大 学生可根据 在原有的位移 力等物理概念来学习向量的概念 结合图形实物区分 平行向量 相等向量 共线向量等概念 25 多媒体或实物投影仪 尺规 新授课 一 情景设置 如图 老鼠由 A 向西北逃窜 猫在 B 处向东追去 设问 猫能否追到老鼠 画图 结论 猫的速度再快也没用 因为方向错了 分析 老鼠逃窜的路线 AC 猫追逐的路线 BD 实际上都是有方 向 有长短的量 引言 请同学指出哪些量既有大小又有方向 哪些量只有大小没 有方向 二 新课学习 一 向量的概念 我们把既有大小又有方向的量叫向量 二 请同学阅读课本后回答 可制作成幻灯片 1 数量与向量有何区别 2 如何表示向量 3 有向线段和线段有何区别和联系 分别可以表示向量的什 么 4 长度为零的向量叫什么向量 长度为 1 的向量叫什么向量 5 满足什么条件的两个向量是相等向量 单位向量是相等向量 A B C D 26 吗 6 有一组向量 它们的方向相同或相反 这组向量有什么关系 7 如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O 这是它们是不 是平行向量 这时各向量的终点之间有什么关系 三 探究学习 1 数量与向量的区别 数量只有大小 是一个代数量 可以进行代数运算 比较大小 向量有方向 大小 双重性 不能比较大小 2 向量的表示方法 用有向线段表示 用字母 黑体 印刷用 等表示 用有向线段的起点与终点字母 AB 向量AB的大小 长度称为向量的模 记作 AB 3 有向线段 具有方向的线段就叫做有向线段 三个要素 向量与有向线段的区别 1 向量只有大小和方向两个要素 与起点无关 只要大小和方 向相同 则这两个向量就是相同的向量 2 有向线段有起点 大小和方向三个要素 起点不同 尽管大 A 起点 B 终点 a 27 小和方向相同 也是不同的有向线段 4 零向量 单位向量概念 长度为 0 的向量叫零向量 记作 0 0 的方向是任意的 注意 0 与 0 的含义与书写区别 长度为 1 个单位长度的向量 叫单位向量 说明 零向量 单位向量的定义都只是限制了大小 5 平行向量定义 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 我们规定 0 与任一 向量平行 说明 1 综合 才是平行向量的完整定义 2 向量 平行 记作 6 相等向量定义 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 说明 1 向量与相等 记作 2 零向量与零 向量相等 3 任意两个相等的非零向量 都可用同一条有向线段来 表示 并且与有向线段的起点无关 7 共线向量与平行向量关系 平行向量就是共线向量 这是因为任一组平行向量都可移到同一 直线上 与有向线段的起点无关 28 说明 1 平行向量可以在同一直线上 要区别于两平行线的位 置关系 2 共线向量可以相互平行 要区别于在同一直线上的线段 的位置关系 四 理解和巩固 例 1 书本 86 页例 1 例 2 判断 1 平行向量是否一定方向相同 不一定 2 不相等的向量是否一定不平行 不一定 3 与零向量相等的向量必定是什么向量 零向量 4 与任意向量都平行的向量是什么向量 零向量 5 若两个向量在同一直线上 则这两个向量一定是什么向量 平行向量 6 两个非零向量相等的当且仅当什么 长度相等且方向相同 7 共线向量一定在同一直线上吗 不一定 例 3 下列命题正确的是 A 与共线 与共线 则与 c 也共 B 任意两个相等的非零向量的始点与终点是 C 向量与不共线 则与 29 D 有相同起点的两个非零向量不平行 解 由于零向量与任一向量都共线 所以 A 不正确 由于数学中研 究的向量是自由向量 所以两个相等的非零向量可以在同一直线上 而此时就构不成四边形 根本不可能是一个平行四边形的四个顶点 所以 B 不正确 向量的平行只要方向相同或相反即可 与起点是否 相同无关 所以 不正确 对于 C 其条件以否定形式给出 所以可 从其逆否命题来入手考虑 假若与不都是非零向量 即与至 少有一个是零向量 而由零向量与任一向量都共线 可有与共线 不符合已知条件 所以有与都是非零向量 所以应选 C 例 4 如图 设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心 分别写出图中与 向量OA OB OC相等的向量 变式一 与向量长度相等的向量有多少个 11 个 变式二 是否存在与向量长度相等 方向相反的向量 存在 变式三 与向量共线的向量有哪些 FEDOCB 1 判断下列命题是否正确 若不正确 请简述理由 向量AB与CD是共线向量 则 A B C D 四点必在一直线上 30 四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当AB DC 一个向量方向不确定当且仅当模为 0 共线的向量 若起点不同 则终点一定不同 解 不正确 共线向量即平行向量 只要求方向相同或相反即可 并不要求两个向量AB AC在同一直线上 不正确 单位向量模均相等且为 1 但方向并不确定 不正确 零向量的相反向量仍是零向量 但零向量与零向量是相等的 正确 不正确 如图AC与BC共 线 虽起点不同 但其终点却相同 2 书本 88 页练习 1 描述向量的两个指标 模和方向 2 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比 3 向量的图示 要标上箭头和始点 终点 书本 88 页习题 2 1 第 3 5 题 吴春霞 2 31 2 2 1 1 掌握向量的加法运算 并理解其几何意义 2 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的 和向量 培养数形结合解决问题的能力 3 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比 使学生掌握向量 加法运算的交换律和结合律 并会用它们进行向量计算 渗透类 比的数学方法 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量 的和向量 理解向量加法的定义 数能进行运算 向量是否也能进行运算呢 数的加法启发我们 从运算的角度看 位移的合成 力的合成可看作向量的加法 借助于 物理中位移的合成 力的合成来理解向量的加法 让学生顺理成章接 受向量的加法定义 结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边 形法则 联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律 多媒体或实物投影仪 尺规 新授课 32 一 设置情景 1 复习 向量的定义以及有关概念 强调 向量是既有大小又有方向的量 长度相等 方向相同的向 量相等 因此 我们研究的向量是与起点无关的自由向量 即任何 向量可以在不改变它的方向和大小的前提下 移到任何位置 2 情景设置 1 某人从 A 到 B 再从 B 按原方向到 C 则两次的位移和 ACBCAB 2 若上题改为从 A 到 B 再从 B 按反方向到 C 则两次的位移和 ACBCAB 3 某车从 A 到 B 再从 B 改变方向到 C 则两次的位移和 ACBCAB 4 船速为AB 水速为BC 则两速度和 ACBCAB 二 探索研究 向量的加法 求两个向量和的运算 叫做向量的加法 三角形法则 如图 已知向量 a 在平面内任取一点A 作AB a BC 则向量AC叫做 a 与的和 记作 a 即 aACBCAB 规定 a 0 0 a A B C C A B A B C A B C 33 O A B a a a b b b 探究 1 两相向量的和仍是一个向量 2 当向量a与b不共线时 a b的方向不同向 且 a b b 则a b的方向与a相 同 且 a b a b 若 a 0 时 a 与a 方向相同 0 内分 外分 0 1 外分 0 1 0 a b a b cos a b a b cos a b a b cos 若 0 a b a b cos a b cos a b cos a b a b cos a b a b cos a b cos a b cos 3 分配律 a b c a c b c 在平面内取一点 O 作OA a AB b OC c a b 即OB 在 c 方向上的投影等于 a b 在 c 方向上的投影和 即 a b cos a cos 1 b cos 2 c a b cos c a cos 1 c b cos 2 c a b c a c b 即 a b c a c b c 说明 1 一般地 64 2 0 3 有如下常用性质 三 讲解范例 例 1 已知 a b 都是非零向量 且 a 3b 与 7a 5b 垂直 a 4b 与 7a 2b 垂直 求 a 与 b 的夹角 解 由 a 3b 7a 5b 0 7a2 16a b 15b2 0 a 4b 7a 2b 0 7a2 30a b 8b2 0 两式相减 2a b b2 代入 或 得 a2 b2 设 a b 的夹角为 则 cos 2 1 2 2 2 b b ba ba 60 例 2 求证 平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 解 如图 平行四边形 ABCD 中 DCAB BCAD AC ADAB AC 2 ADABADABADAB 2 22 2 而BD ADAB BD 2 ADABADABADAB 2 22 2 AC 2 BD 2 2 22 2ADAB 2222 ADDCBCAB 65 例 3 四边形 ABCD 中 AB BC CD DA 且 试问四边形 ABCD 是什么图形 分析 四边形的形状由边角关系确定 关键是由题设条件演变 推算该四边形的边角量 解 四边形 ABCD 是矩形 这是因为 一方面 0 即 由于 同理有 由 可得 且 即四边形 ABCD 两组对边分别相等 四边形 ABCD 是平行四边形 另一方面 由 有 而由平行 四边形 ABCD 可得 代入上式得 2 即 也即 AB BC 综上所述 四边形 ABCD 是矩形 评述 1 在四边形中 AB BC CD DA是顺次首尾相接向量 则其和向量是零向量 即 0 应注意这一隐含条件 66 应用 2 由已知条件产生数量积的关键是构造数量积 因为数量积的 定义式中含有边 角两种关系 四 课堂练习 1 下列叙述不正确的是 A 向量的数量积满足交换律 B 向量的数量积满足分配律 C 向量的数量积满足结合律 D a b 是一个实数 2 已知 a 6 b 4 a 与 b 的夹角为 则 a 2b a 3b 等于 A 72 B 72 C 36 D 36 3 a 3 b 4 向量 a 4 3 b 与 a 4 3 b 的位置关系为 A 平行 B 垂直 C 夹角为 3 D 不平行也不垂直 4 已知 a 3 b 4 且 a 与 b 的夹角为 150 则 a b 5 已知 a 2 b 5 a b 3 则 a b a b 6 设 a 3 b 5 且 a b 与 a b 垂直 则 五 小结 略 六 课后作业 略 七 板书设计 略 八 课后记 王海 67 9 教学目的 要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 掌握向量垂直的坐标表示的充要条件 及平面内两点间的距离公 式 能用所学知识解决有关综合问题 教学重点 平面向量数量积的坐标表示 教学难点 平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型 新授课 教 具 多媒体 实物投影仪 教学过程 一 复习引入 1 两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 与 作OA OB 则 叫 与 的夹角 2 平面向量数量积 内积 的定义 已知两个非零向量 与 它 们的夹角是 则数量 a b cos 叫 与 的数量积 记作 a b 即有 C 68 a b a b cos 并规定 0 与任何向量的数量积为 0 3 向量的数量积的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 b cos 的乘积 4 两个向量的数量积的性质 设 a b 为两个非零向量 e 是与 b 同向的单位向量 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 当 a 与 b 同向时 a b a b 当 a 与 b 反向时 a b a b 特 别的 a a a 2或aaa 4 cos ba ba 5 a b a b 5 平面向量数量积的运算律 交换律 a b b a 数乘结合律 a b a b a b 分配律 a b c a c b c 二 讲解新课 平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 11 yxa 22 yxb 试用a和b的坐标表示 ba 设i是x轴上的单位向量 j是y轴上的单位向量 那么jyixa 11 69 jyixb 22 所以 2211 jyixjyixba 2 211221 2 21 jyyjiyxjiyxixx 又1 ii 1 jj 0 ijji 所以ba 2121 yyxx 这就是说 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即 ba 2121 yyxx 2 平面内两点间的距离公式 八 设 yxa 则 222 yxa 或 22 yxa 2 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为 11 yx 22 yx 那么 2 21 2 21 yyxxa 平面内两点间的距离公式 九 向量垂直的判定 设 11 yxa 22 yxb 则ba 0 2121 yyxx 十 两向量夹角的余弦 0 cos ba ba 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 十一 讲解范例 十二 设 a 5 7 b 6 4 求 a b 及 a b 间的夹角 精确到 1o 例 2 已知 A 1 2 B 2 3 C 2 5 试判断 ABC 的形状 并给出证明 70 例 3 已知 a 3 1 b 1 2 求满足 x a 9 与 x b 4 的向 量 x 解 设 x t s 由 42 93 4 9 st st bx ax 3 2 s t x 2 3 例 4 已知 a 3 b 3 3 则 a 与 b 的夹 角是多少 分析 为求 a 与 b 夹角 需先求 a b 及 a b 再结合夹角 的范围确定其值 解 由 a 3 b 3 3 有 a b 3 3 3 a b 2 记 a 与 b 的夹角为 则 2 2 ba ba 又 4 评述 已知三角形函数值求角时 应注重角的范围的确定 例 5 如图 以原点和 A 5 2 为顶点作等腰直角 OAB 使 B 90 求点 B 和向量AB的坐标 解 设 B 点坐标 x y 则OB x y AB x 5 y 2 OB AB x x 5 y y 2 0 即 x2 y2 5x 2y 0 又 OB AB x2 y2 x 5 2 y 2 2即 10 x 4y 29 71 由 2 7 2 3 2 3 2 7 29410 025 2 2 1 1 22 y x y x yx yxyx 或 B 点坐标 2 3 2 7 或 2 7 2 3 AB 2 7 2 3 或 2 3 2 7 例 6 在 ABC 中 AB 2 3 AC 1 k 且 ABC 的一个内角 为直角 求 k 值 解 当 A 90 时 AB AC 0 2 1 3 k 0 k 2 3 当 B 90 时 AB BC 0 BC AC AB 1 2 k 3 1 k 3 2 1 3 k 3 0 k 3 11 当 C 90 时 AC BC 0 1 k k 3 0 k 2 133 十三 课堂练习 1 若 a 4 3 b 5 6 则 3 a a b A 23 B 57 C 63 D 83 2 已知 A 1 2 B 2 3 C 2 5 则 ABC 为 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不等边三角 形 3 已知 a 4 3 向量 b 是垂直 a 的单位向量 则 b 等于 A 5 4 5 3 或 5 3 5 4 B 5 4 5 3 或 5 4 5 3 C 5 4 5 3 或 5 3 5 4 D 5 4 5 3 或 5 4 5 3 72 4 a 2 3 b 2 4 则 a b a b 5 已知 A 3 2 B 1 1 若点 P x 2 1 在线段 AB 的中垂线上 则 x 6 已知 A 1 0 B 3 1 C 2 0 且 a BC b CA 则 a 与 b 的夹 角为 十四 小结 略 十五 课后作业 略 十六 板书设计 略 十七 课后记 王海 12 复习课 1 理解向量 零向量 向量的模 单位向量 平行向量 反向量 相等向 量 两向量的夹角等概念 2 了解平面向量基本定理 3 向量的加法的平行四边形法则 共起点 和三角形法则 首尾 相接 4 了解向量形式的三角形不等式 a b a b 73 a b 试问 取等号的条件是什么 和向量形式的平行四边形定 理 2 a 2 b 2 a b 2 a b 2 5 了解实数与向量的乘法 即数乘的意义 6 向量的坐标概念和坐标表示法 7 向量的坐标运算 加 减 实数和向量的乘法 数量积 8 数量积 点乘或内积 的