北师大版选修44 参数方程 章末分层突破 学案.doc

章末分层突破自我校对圆的参数方程椭圆的参数方程代数法平摆线的参数方程渐开线的参数方程 参数法求动点的轨迹方程满足一定条件的动点所形成的图形即为动点的轨迹，而轨迹方程实际上为轨迹曲线的方程.求轨迹方程是解析几何的主要问题之一，大致分为直接法和间接法两种方法.其中，参数法求轨迹方程是常用的间接法.如图21，正方形abcd的边长为1，p，q分别为bc，cd上的点，cpq的周长为2，图21(1)求paq的大小；(2)建立恰当的直角坐标系，试求apq的重心的轨迹.【精彩点拨】(1)利用平面图形的性质，先求tan paq再求角；(2)建系后把重心坐标用参数(bop)表示，消参即得轨迹方程.【规范解答】(1)设bpp，dqq，bap，daq，其中0p1,0q1，则tan p，tan q，tan()，又(1p)(1q)2，(1p)2(1q)2(pq)2，1pqpq，tan()1.又0，paq.(2)以a为坐标原点，ab为x轴，ad为y轴，建立直角坐标系，如图.设bop，由(1)得，boq，其中0.p点的坐标为(1，tan )，q点的坐标为，又设apq的重心为g(x，y)，由重心坐标公式得：(为参数)，消去参数，得y.又0，0tan 1，x，y，apq的重心g的轨迹是双曲线xy在第一象限内的一部分.再练一题1.已知动点p，q都在曲线c：(为参数)上，对应参数分别为与2(02)，m为pq的中点.(1)求m的轨迹的参数方程；(2)将m到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断m的轨迹是否过坐标原点.【解】(1)依题意有p(2cos ，2sin )，q(2cos 2，2sin 2)，因此m(cos cos 2，sin sin 2).m的轨迹的参数方程为(为参数，02).(2)m点到坐标顶点的距离d(02).当时，d0，故m的轨迹过坐标原点.直线的参数方程的应用直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题.在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义.已知点p(3,2)平分抛物线y24x的一条弦ab，求弦ab的长.【精彩点拨】利用直线参数方程中参数的几何意义求解.【规范解答】设弦ab所在的直线方程为(t为参数)，代入方程y24x整理得：t2sin2 4(sin cos )t80.因为点p(3,2)是弦ab的中点，由参数t的几何意义可知，方程的两个实根t1，t2满足关系t1t20，即sin cos 0.因为00，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点p(，)，故由上式及t的几何意义得|pa|pb|t1|t2|t1t23.圆锥曲线的参数方程椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角的意义，要分清椭圆上一点的离心角和这点与坐标原点连线倾斜角的关系，双曲线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式.椭圆1上有p，q两点，o为椭圆中心，op，oq的斜率分别为kop，koq，且kopkoq.(1)求|op|2|oq|2的值；(2)求线段pq中点的轨迹方程.【精彩点拨】利用椭圆的参数方程设点p(4cos 1,2sin 1)，q(4cos 1,2sin 2)，充分利用已知条件建立方程求解.【规范解答】(1)设p点的坐标为(4cos 1,2sin 1)，q点的坐标为(4cos 2,2sin 2).kopkoq，cos(12)0，12k(kz)，sin21cos22，cos21sin22， |op|2|oq|216cos214sin2116cos224sin2220，即|op|2|oq|220.(2)设pq的中点为(x，y)，则y2(cos 1cos 2)2(sin 1sin 2)222cos(12)2，pq中点的轨迹方程为1.再练一题3.在平面直角坐标系xoy中，设p(x，y)是椭圆y21上的一个动点，求sxy的最大值.【解】因为椭圆y21的参数方程为(为参数).故可设动点p的坐标为(cos ，sin )，其中00)，求曲线c的普通方程. 【解】因为x2t2，所以x22t，故曲线c的普通方程为3x2y60.参数思想参数思想是一种重要的数学思想，尤其在运动变化型问题中.若能引入参数作桥梁，沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上.直线l过点p0(4,0)，它的参数方程为(t为参数)与圆x2y27相交于a，b两点.(1)求弦长|ab|；(2)过p0作圆的切线，求切线的长；(3)求|p0a|和|p0b|的长；(4)求交点a，b的坐标.【精彩点拨】充分利用参数思想，即参数的几何意义解决问题.【规范解答】将直线l的参数方程代入圆的方程，得227，整理得t24t90.(1)设a和b两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系得t1t24，t1t29，所以|ab|t2t1|2.(2)设圆过p0的切线为p0t，t在圆上，则|p0t|2|p0a|p0b|t1t2|9，所以切线长|p0t|3.(3)解方程t24t90，得t13，t2，所以|p0a|3，|p0b|.(4)将t13，t2代入直线的参数方程，得点a的坐标为，点b的坐标为.再练一题5.在平面直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为(为参数，且02)，点m是曲线c1上的动点.(1)求线段om的中点p的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为cos sin 10(0)，求点p到直线l距离的最大值.【解】(1)曲线c1上的动点m的坐标为(4cos ，4sin )，坐标原点o(0,0)，设p点的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x(04cos )2cos ，y(04sin )2sin ，所以点p的坐标为(2cos ，2sin )，因此点p的轨迹的参数方程为(为参数，且02)，消去参数得点p轨迹的直角坐标方程为x2y24.(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l的直角坐标方程为xy10.又由(1)知，点p的轨迹为以原点为圆心，以2为半径的圆，因为原点(0,0)到直线xy10的距离为，所以点p到直线l距离的最大值为2.1.(广东高考)在平面直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线c1的极坐标方程为(cos sin )2，曲线c2的参数方程为(t为参数)，则c1与c2交点的直角坐标为_.【解析】由(cos sin )2得xy2.法一：由得y28x，联立得即交点坐标为(2，4). 法二：把代入xy20得t22t20，解得t，即交点坐标为(2，4).【答案】(2，4)2.(陕西高考)如图22，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2y2x0的参数方程为_.图22【解析】将x2y2x0配方，得2y2，圆的直径为1.设p(x，y)，则x|op|cos 1cos cos cos2，y|op|sin 1cos sin sin cos ，圆x2y2x0的参数方程为(为参数).【答案】(为参数)3.(陕西高考)在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，c的极坐标方程为2sin . (1)写出c的直角坐标方程；(2)p为直线l上一动点，当p到圆心c的距离最小时，求p的直角坐标.【解】(1)由2sin 得22sin ，从而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)设p，又c(0，)，则|pc|，故当t0时，|pc|取得最小值，此时，点p的直角坐标为(3,0).4.(全国卷)已知曲线c：1，直线l：(t为参数).(1)写出曲线c的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线c上任意一点p作与l夹角为30的直线，交l于点a，求|pa|的最大值与最小值.【解】(1)曲线c的参数方程为(为参数).直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线c上任意一点p(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|，则|pa|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|pa|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|pa|取得最小值，最小值为.5.(全国卷)在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为sin2.(1)写出c1的普通方程和c2的直角坐标方程；(2