泰勒公式及其应用三稿 - (2).doc

长春工业大学硕士学位论文分院名称：数学学院学生学号：0807140124长春师范学院本科毕业论文（设计）（理工类）题 目： 泰勒公式及其应用 专 业： 数学与应用数学 作 者 姓 名： 孙丹丹 指导教师姓名： 侯国亮 指导教师职称： 讲师 2012年5月17长春师范学院本科毕业论文（设计）长春师范学院本科毕业论文（设计）作者承诺保证书本人郑重承诺：本篇毕业论文（设计）的内容真实、可靠.如果存在弄虚作假、抄袭的情况，本人愿承担全部责任.论文作者签名： 日期： 年 月 日长春师范学院本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立完成.如果存在学风问题，本人愿意承担指导教师的相关责任.指导教师签名：日期： 年 月 日摘要泰勒公式是数学分析中非常重要的知识之一，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微分学的各个领域都有很重要的应用.本文主要采用举例分析的方法，阐述泰勒公式在定义某些非初等函数、求初等函数的幂级数展开式、求函数极限、求高阶导数、证明函数(不)等式、近似计算和误差估计、判断广义积分敛散性、判定级数收敛性、求解行列式、求某些微分方程解以及在经济学中的应用.关键词：泰勒公式；非初等函数；幂级数；函数极限；高阶导数；函数（不）等式；近似计算；误差估计；广义积分；级数收敛；行列式；微分方程AbstractTaylor Formula is a very important content in mathematics analysis , epitomizing the soul of “approximation” focally , and it has very important applications in all fields of calculus. In this paper, using the example analysis method to state the application of Taylor Formula , such as delimiting some elementary functions ,calculating the elementary function expansion for the power series ,limit of function, the higher derivative ,proof of the equality or inequality functions, approximate calculation ,error estimation, judging the generalized integral convergence of scattered, calculating of convergence of the series ,solving the determinant , calculating of some differential equations and the economics . Key words: Taylor Formula; elementary functions; power series; limit of function; higher derivative; (in)equality functions; approximate calculation; error estimation; generalized integral convergence of scattered; determinant; differential equation 目 录承诺保证书 摘 要ABSTRACT 第一章 前 言1第二章 泰勒公式 2 2.1 带有Peano型余项的泰勒公式 2 2.2 带有Lagrange型余项的泰勒公式 3 2.3 常用的Maclaurin公式 4第三章 泰勒(Taylor)公式的应用 6 3.1 定义某些非初等函数 6 3.2 求初等函数的幂级数展开式 6 3.3 求函数极限 7 3.4 求高阶导数 8 3.5 证明函数（不）等式 9 3.6 近似计算和误差估计10 3.7 判断广义积分敛散性11 3.8 判定级数收敛性12 3.9 巧解行列式13 3.10 求某些微分方程解 14 3.11 泰勒公式在经济学中的应用 15总 结17参考文献 18第一章 前言18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一英国的数学家泰勒（Brook Taylor），于1685年8月18日在米德尔赛克斯的埃德蒙顿出生，他于1709年后移居伦敦并获得法学硕士学位，在1712年当选为英国皇家学会会员，在两年后获得法学博士学位.在1714年出任英国皇家学会秘书，四年后以健康理由辞退其职务.并在1717年以泰勒定理求解了数值方程.最后于1731年12月29日在伦敦逝世.泰勒的主要著作是1715年出版的正的和反的增量方法，书内陈述了他已于1712年7月给其老师梅钦（天文学家、数学家）信中首先提出的著名的定理泰勒定理.1722年，拉格朗日强调了此公式得重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明中并没有考虑级数的收敛性，因而是证明不太严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成.同年，他出版了另一名著线性透视论，后在1719年发表了再版的线性透视原理.他以严密的形式展开其线性透视学体系，其中最突出的贡献是提出和使用“没影点”的概念，这对摄影测量制图学的发展有一定的影响，另外还撰有哲学遗作，发表于1793年.泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数，同时也使泰勒成了有限差分理论的奠基者.泰勒在书中讨论了微积分对一系列问题的应用，其中以有关弦的横向震动的结果尤为重要，他通过求解方程导出了基本频率的公式，开创了研究弦镇问题的先河.泰勒公式的问世，使得许多以前难以解决或者是不能解决的问题都得到了希望并且其中很多都变成了现实，所以我们十分有必要掌握这一公式.随着计算机和通信技术的迅速发展，在自然科学和工程技术等众多领域中，利用计算机近似计算，已经成为科学研究和工程设计中不可缺少的一个重要环节，换句话说近似计算方法是一种重要的科学研究方法.泰勒公式是一个多项式的拟合问题，而多项式是一种简单的函数，它的研究对我们来说是较轻松的、方便的，特别对计算机编程计算极为方便，如果将所研究对象转化成多项式，那么问题就会更简单了.这就使我们想到把泰勒公式应用到这些领域，那到底可不可以呢？因此就有许多的科学家和学者多次作出了重大的贡献，那我们就看一下泰勒定理的创始人泰勒是如何研究的呢？ 泰勒主要是从有限差分出发，得到牛顿差值公式，然后令初始变量为零，项数为无穷，但没有给出余项的具体表达式，随着后人的不断努力研究与完善，形成今天我们学习的泰勒公式.现在教材和很多期刊也对这部分内容进行了介绍，但在一些领域的应用则很简单.本文较为详细的介绍了泰勒公式这部分内容所涉及的基本概念，相关定理及余项的表达式.并对一些相关的应用作了介绍，同时配备了相应的例题解答和文字说明，以便使读者更好的去理解.第二章 泰勒公式2.1 带有Peano型余项的泰勒公式佩亚诺型余项泰勒公式是各种形式泰勒公式中，所需条件最少、形式最简单、在处理某些定性问题时方法极为简便的泰勒公式.定理1 若函数在点存在直至阶导数，则有， 若记，则有.证明：记，显然在点处连续，从而在的邻域内阶可导，且有. 由于在点处连续，所以，. 为证，必须且只需证明 有前面分析可知该极限为未定式，连续运用次洛比达法则得.注意到由导数定义得. 因此，定理得证. 注： 该定理说明当时用泰勒公式近似代替时，其误差是比高阶的无穷小. 其中叫做皮亚诺型余项. 与拉格朗日型余项的泰勒公式相比，该定理对的假设条件较少，只需在点处阶可导，不需阶导数存在，也不需要在的邻域内存在阶（连续）导数，因此适用范围相对较广. 当时，得到泰勒公式 它也称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式.2.2 带有Lagrange型余项的泰勒公式定理2（泰勒定理） 若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得 证明：作辅助函数所需要证明的式即为. 不妨假设则与在上连续，在内可导，且 又因为 所以由柯西中值定理证得 其中 式同样称为泰勒公式，它的余项为 称为拉格朗日余项.所以式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.注意：当时，式即称为拉格朗日中值公式所以泰勒定理可看作拉格朗日中值定理的推广.当时，得到泰勒公式式也称为带有拉格朗日余项的迈克劳林公式.2.3 常用的Maclaurin公式1. 2. 3. 45. 6. 第三章 泰勒公式的应用3.1 定义某些非初等函数 若函数在（或某个区间）上连续，则函数在上存在原函数而这个原函数不一定可用初等函数表示，这样好像陷入了困境.事实上，若可运用泰勒公式看成幂级数，则可以表示为幂级数的和函数形式.例1 求函数在上的原函数.解 函数在上连续，因而它在上存在原函数，但它的原函数是非初等函数，于是可采用如下方法；由泰勒公式知 ，由于它在任意闭区间上都一致收敛，于是对它的原函数是3.2 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 利用基本初等函数的幂级数展开式，通过泰勒展开式可求得.例2 求函数的展开式.解 由于所以的拉格朗日余项为显见.它对任何实数都有因而所以3.3 利用泰勒公式求极限为了简化极限的运算，有时可以用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限，就能简捷的求出.例3 求极限.分析：此极限为型极限，若用洛必达法求解，则比较麻烦，这时可将和，分别用泰勒展开式代替，则可以简化此式子.解 由.注：由于对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的，因此对一些复杂函数可根据泰勒公式将原来比较复杂的函数极限问题转化为类似的多项式或有理式的极限问题，因此满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限： 1. 用洛比达法则时，次数较多，且求导和化简过程较为繁琐. 2. 分母或分子中有无穷小的差，且此差不容易转化为等价无穷小替代形式. 3. 所遇到的函数展开为泰勒公式不难时.当确定要用泰勒公式求极限时，关键是确定展开的阶数.如果分子（或分母）是阶，就将分母（或分子）展开为阶的迈克劳林公式，如果分母、分子都需要展开，可以分别展开到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂的次数.3.4 利用泰勒公式求高阶导数如果泰勒公已知，其通项中的余项，从而可以反过来求高阶导数数值，而不必再一次求导.例4 设，求.解 由得泰勒公式：.可以得到所以.例5 设，求.解 又在处的麦克劳林展开式为从而可以得到.这里，我们通过麦克劳林公式把求解一个复杂的反三角函数的高阶导数转化为多项式函数的高阶导数，而后者的求解是非常简单的.3.5 泰勒公式在不等式证明中的应用如果函数的二阶或二阶以上的导数存在且有界，则利用泰勒公式去证明这些不等式.一般的证明思路是：1. 写出比最高阶导数低一阶的泰勒展开式；2. 恰当选择等式两边的和；3. 根据最高阶导数的大小对展开式进行放缩.例6 设在上具有二阶导数，且，试证：在内至少存在一点，使.证明：因为在上具有二阶导数，所以在处一阶泰勒公式成立： . 其中在和之间，.在中令，有又所以 . 在中令又所以 . -并取绝对值，则取，则.注意：泰勒公式有时结合其他知识一起使用，例如要证明的不等式中含有积分符时，一般要利用定积分的性质综合使用泰勒公式去进行证明.当所要证明的不等式中含有多项式和初等函数的混合式时，不妨做一个辅助函数并利用泰勒公式代替，往往能使证明更加简洁，对泰勒公式合理巧妙地运用，可以解决一些其他方法比较难解决的问题.3.6 利用泰勒公式近似计算和误差估计 利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式与一些数值的近似计算，利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为其误差是余项.例7 计算的值，准确到.解 .因为要使.所以有.取时，故有.例8 估计下列近似公式的绝对误差：.解 当时，. 根据泰勒展开式的余项可以具体的估计出用泰勒公式近似的表示一个函数所产生的误差.由拉格朗日型余项如果为一定数，则其余项不会超过，由此可以近似计算某些数值并估它们的误差.3.7 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性例9 判断广义积分的敛散性.解 利用泰勒公式将展开为： 因此.由于收敛，的收敛3.8 泰勒公式在讨论级数收敛性中的应用 在级数敛散理论中，要判断一个正项级数，可有比较判别法来判定，那么在实际应用中比较困难的问题是如何选择恰当的中的值.考虑如下情况：（1）若，此时收敛，但是.（2）若，此时收敛，但是.这里我们没办法判定的敛散性，为了有效的选择中的值，这里可应用泰勒公式研究选择项的阶，据此选择恰当的值，使，并保证，再由此比较判别法就可判定的敛散性，下面将举例说明.例10 判定级数的敛散性.解 利用泰勒公式展开得 故有.即时是阶，与同敛散性，所以收敛.注意：利用泰勒公式研究序列无穷小量的阶，然后和恰当（如）去比较，求出的值，再求出极限，就可以顺利解决问题.3.9 利用泰勒公式求行列式的值 若一个行列式可以看做的函数（一般是的次多项式），记作，按泰勒公式在某处展开，用这一方法可以求得一些行列式的值.例11 求阶行列式 解 记，按泰勒公式在处展开： 可得 . 由得，时都成立.根据行列式求导规则有于是在处的各阶导数为把以上各导数代入式，有若，有若，有3.10 利用泰勒公式求某些微分方程的解微分方程的解可能是初等函数（非初等函数），如微分方程 求解问题便是这样，因而解这类方程我们可设想其解可表示成泰勒级数的形式，从而我们可大胆设想可表示成为更为一般的幂级数形式，从而得出了解这类方程的一个重要方法.事实上，若在某点的邻域内，可展开关于的泰勒级数或幂级数，则方程的解在点得邻域内也能展开成关于的泰勒级数或幂级数，即.例12 解微分方程.解 显然，可以在点的邻域内展开泰勒级数，因此原方程有形如, . 的幂级数的解.将及其导数代入原方程得.即：.令的同次幂系数为零，得.从而，既有.所以其通解为.即.3.11 利用泰勒公式解决经济问题我们知道泰勒公式在解决定积分中有广泛的应用，而定积分在经济学中是不可缺少的，在这里以定积分为平台，利用泰勒公式去解决经济学问题.例13 完全竞争行业中某厂商成本的函数为，假设产品的价格是66元，求：（1）由于竞争市场供求发生变化，由此决定新的价格为27元，在新的价格下厂商是否发生亏损？如果会，最小的亏损金额为多少？解 由于市场供求发生变化，新的价格是27元，厂商是否发生亏损需根据所决定的均衡产量计算利润为正还是为负，不论利润最大还是亏损最小，均衡条件都是.成本函数为，令.由泰勒公式可以知道，.所以.又因为既有.所以.因为 （1） （2）所以.故有为利润最大或者最小的产量.利润可见看出：当价格是27时，当厂商的生产量是1时，其最大盈利金额为19元；当生产量是4时，其发生亏损，最小亏损金额为17元.总结本文在阅读大量有关泰勒公式的资料后然后做出一些整理，这篇文章主要通过比较大的篇幅和例子比较系统的介绍了泰勒公式的由来以及发展经过的有关知识.泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分的各个领域都有很重要的应