信号与系统1.doc

第一章信号与系统概述13 典型信号v 1单位冲激(脉冲)信号(t):v (t)=0 t0 =+ t=0v 主要性质采样(1)f(t)(t-to)=f(to)(t)1单位冲激(脉冲)信号(t):主要性质(2)c f (t)(t-to)dt=f(to) to C =0 to C(3)(at)=(t)/|a| (-t)=(t)2 单位阶跃信号v u(t)=0 t03 斜坡信号v R(t)= t u(t)v 以上三种信号分别产生: 面积(冲量)、幅值和斜率的突变 4 门(脉冲)信号v g T (t)=u(t+T/2)-u(t-T/2)5 三角(脉冲)信号v T(t)=1-2| t |/T | t |T/2 6 采样信号v Sa(t)=sin(t)/tv 以上三种信号收窄宽度,增大高度,保持面积为1,宽度0时等效脉冲信号 7实指数, 交流信号v 常用指数信号调制的交流信号 Aeatsin(t+) , Aeatcos(t+) 频率=2f=2/T a=0 为纯交流信号, =0 为纯指数信号, a和同时为0是直流信号 8 复指数信号v Ce s t =Ae je(+j)t 其实虚部均为指数调制交流信号,表达简洁v 1.4 信号的变换 v 1 微分 积分 v 用p=d/dt 和1/p=p-1=(-,t) ( 。)dt 分别表示微分与积分算子 例: (1/p)(t) = u(t) , (1/p) u(t) = (1/p2)(t)= R(t) 所以: (t)=pu(t), u(t)=pR(t) v 注: 显然p p-1f(t)=f(t) ; 并且对有始信号有f(-)=0 p-1 p f(t)=f(t)-f(-)=f(t) v 即p p-1为恒等变换(-“可抵消”) 2 时移v 算子qf(t)=f(t)2 时移v 由泰勒公式 f(t)=(k=0) (1/k!)(pkf(t)()k =k(1/k!)(pk)() k f(t) = epf(t) 所以 q = e p !注 算子表示信号到信号(函数到函数)的变换! 按习惯算子写在前,被变换信号在后,不产混乱时可省括号 .3 反转v f(t)f(-t)4 变标v f(t)f(t/a) a0为时间扩张比 a1 为扩张, a1为压缩 例: 影视慢镜头播放为时间扩张, 快镜头为时间压缩(结合时移) .5 调制v f(t)g(t)f(t), g(t)为时间函数. 例:通信常用g(t)=cost调制信号以便传送 6 比例放大v f(t)kf(t)7 恒值v f(t)常数C 例 稳压电源信号的函数变换v 如(f(t), f2(t)及多个信号的代数运算-省略1.5 信号的分解 v 1.5.1 分解为典型信号v 1 分段直线信号分解为(t),u(t),R(t) 信号v 设f(t)为分段含脉冲分段直线信号有始信号 设脉冲突变点ti, 冲量Ii, 幅值突变点tj, 突变量fj, 斜率突变点tk, 突变量fk1 分解为(t),u(t),R(t) 信号则f(t)=i Ii(t-ti) +j fj u(t-tj) +k f kR(t-tk) = iIiqti +jfjq-tj/p +kfkq-tk/p2 (t)其中 fj =f(tj+)- f(tj-) fk =f(tk+)-f(tk -)1 分解为(t),u(t),R(t) 信号v 例:v1 分解为(t),u(t),R(t) 信号v (1) gT (t) 突变时刻 tj : -T/2: T/2:突变幅值 f : 1-0=1 0-1= -1 所以gT(t)=(1* q T/ 2 +(-1) q T/ 2 )u(t) = ( q T/ 2 - q T/ 2 )/p (t)1 分解为 v (2) T(t): tk: -T/2 0 T/2f 1/(T/2)-0 -2/T-2/T 0-(-2/T) =2/T =-4/T =2/T 所以T (t)=( 2/T )q T/ 2 -(4/T)+(2/T)q T/ 2 R(t) =(2/T) q T/ 2 -2+ q T/ 2 (1/p2)(t) =(2/T)( q T/ 4 - q T/ 4 )2(1/p2)(t) 1 分解为v (3) f1(t): tj: T: tk : 0 T !f: 0-E f E/T-0 0-E/T = -E =E/T = -E/Tf1(t)= -Eq -T u(t)+(E/T-Eq-T/T)R(t) = -Eq -T/p+(E/T)(1 -q-T)/p2(t)1 分解为v 同理1 分解为v 注: 也可先微分求pf(t)再求f(t) 例习题(1-6):pf(t)=3(1-q -1)u(t)+(-q-2-q-3-q-4)(t) 注: 阶跃的微分是脉冲!所以f(t)= 3(1-q -1)p-2+(-q -2-q -3-q -4)p-1(t) 2 分解为gT(t) ,T(t) v f1(t)=q -T/2 gT(t) f2(t)=(q+1.5 + q -1.5)g1(t) f3(t)=24(t)-2(t) 3 右周期信号分解 f (t)=f1(t)+q -T f1(t) +q -2T f1(t) +q -3Tf1(t)+. =1+ q -T +q -2T +q -3T +f1(t) =1/(1- q -T)f1(t) v 例1.5.1: f1(t)= -Eq-T/p+(E/T)(1 -q-T)/p2(t) v f(t)= 1/(1- q -T) f1(t) = 1/(1- q -T) -Eq-Tp -1+(E/T)(1 -q-T)/p-2(t) = -Eq -T /(1- q -T)p -1(t) + (E/T) p -2(t)根据需要可以将信号用典型信号表达v 例:1中f1(t)=(E/T)t q-T/ 2 gT(t) 1.5.2 分解信号的奇偶分量v 奇分量 fo(t)=f(t)-f(-t)/2=-fo(-t), v 偶分量 fe(t)=f(t)+f(-t)/2=fe(-t) 1.5.3 任意信号分解为脉冲,阶跃信号v 后述1.6系统及响应v 系统记为 y ( t ) = H f ( t ) = H f ( t ) -不引起混乱时略 v 如果只从某初始时刻（常取to=0）开始才确定系统结构、输入f（t）与内部状态Xo（如电路中的电容电压和电感电流），则响应与两者有关。v y（t）=H f（t），Xo1.7系统分类 v 1 静态与动态：v 前者输出只与该时刻输入有关，系统模型为代数方程。如电阻网络。v 后者输出则与全部时间的输入有关，系统模型为p、q（微分、差分）方程，如含电容电感网络。1.7系统分类v 2 因果与非因果：前者输出只与当前及过去输入有关，与将来的输入无关-即输入在前输出在后，可物理实现；后者输出与将来的输入有关-未卜先知，不可物理实现。v 有些性能理想系统非因果 可通过延迟,近似后用因果系统逼近非因果系统3连续时间系统与离散时间系统v 前者输入输出均为连续时间信号，v 后者输入输出均为离散时间信号。使用计算机的系统常为混合系统4线性系统与非线性系统v 线性系统输出与输入满足叠加性与齐次性：v y（t）= 零状态响应H f（t）+ 零输入响应HoXov 零状态响应H f（t）和零输入响应HoXo都满足叠加性与齐次性: H k i f i (t) = k i H f i (t) Ho k j X j = k j Ho X jv 非线性系统不满足叠加性与齐次性。 5非时变与时变系统前者系统性质不随时间变化: -输入延迟则输出相应延迟 即如果H f(t)=y(t) 则 Hqf(t)=qy(t) 或 Hq= qH后者系统性质随时间变化: 相同的输入波形, 输入时间不同,输出波形也不同. 如回报油量y(t)=油价g(t)*投资f(t), 油价g(t)=G不变非时变系统 g(t)时变时变系统. 5时变与非时变系统v 6可逆与非可逆系统v 前者不同的输入波形信号产生不同的输出 f1(t)f2(t)H f1(t)H f2(t)v 后者存在不同的输入波形信号产生相同的输出 例常值系统本课程主要研究v 线性非时变-LTI系统典型变换的性质 变换 线性 非时变 因果微分pf(t)=df(t)/dt 积分(1/p)f(t)=(-, t) f () d 时移qf(t) 0 超前: 调制g(t)f(t) 比例放大Kf(t) 恒值C0 -C =0 反转f(-t) 变标f(t/a) 注:如a1(时间扩张),则 对因果信号是因果变换复合变换v 线性(非时变因果)变换H1,H2的复合: H1H2= H1 H2 o , H1+H2= H1o +H2 o -仍为线性(非时变因果)变换 例微分算子多项式i a i p N- i 变换, 仍为线性非时变因果变换 系统性质判别v 线性系统一般模型: A y ( t ) =B f ( t ) + D Xo A,B,D均为变换线性算子v 如A,B,D均非时变,则系统非时变例1.7-1系统判断 (1) y(t)=3x(0-)f(t)u(t) 不满足模型, NL; u(t)调制: T - NL-T系统 (2) y(t)=4x(0-)+2f 2(t)u(t) f 2(t)u(t)为NL-T, -NL-T系统 y(t)=2+2f(t)u(t)； 2为恒值NL, f(t)u(t): T, -NL-T系统(4) y(t)=2x(0-)+(0-, t ) f () d。 注:(0-, t ) df()=(-, t ) du () f () = (1/p) u ( t ) f ( t ) - L-T系统 例1.7-2 v y(t)=cos3tx(0)+2 t f ( t ) u ( t ) 调制 调制 线性时变系统 1-17(5) y(t)=f(t+1)-线性非时变非因果1.8 LTI系统分析方法 v 本课程主要研究常见的由常系数线性p,q方程:i a i p N- i y ( t ) = j b j p M j f ( t )或A(p)y(t)=B(p)