高三数学创新题(含答案).doc

1、，分别表示实数，中的最小者和最大者（1）作出函数321（R）的图像；（2）在求函数321（R）的最小值时，有如下结论：，4请说明此结论成立的理由；（3）仿照（2）中的结论，讨论当，为实数时，函数R，R的最值解：（1）图略；（2）当（，3）时，是减函数，当3，1）时，是减函数，当1，）时，是增函数，4（3）当0时，；当0时，；当0时，2、对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。 对自然数，规定为的阶差分数列，其中。 （1）已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？ （2）若数列首项，且满足，求数列的通项公式。 （3）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。 解：（1），是首项为4，公差为2的等差数列。 是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。 （2），即，即， ，猜想： 证明：）当时，； ）假设时， 时， 结论也成立 由）、）可知， （3），即 存在等差数列，使得对一切自然都成立。3、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。aaaaaaaaaa（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）若SA面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小；（3）求点D到面SEC的距离。（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）3分SABCDEFGH证明：且AB、AD是面ABCD内的交线SA底面ABCD5分（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，则GF/EA,GF=EA,AF/EG而由SA面ABCD得SACD，又ADCD，CD面SAD，又SA=AD,F是中点， 面SCD,EG面SCD,面SCD所以二面角E-SC-D的大小为9010分(3)作DHSC于H，面SEC面SCD,DH面SEC,DH之长即为点D到面SEC的距离，12分在RtSCD中，答：点D到面SEC的距离为14分4、（理）已知为正常数。 （1）可以证明：定理“若、，则（当且仅当时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）； （2）若在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测的单调性（无需证明）； （3）对满足（2）的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个定义在上的函数，使当时，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。解：（1）若、，则（当且仅当时取等号）。 （2）在上恒成立，即在上恒成立，即，又，即时，又，。 综上，得 。 易知，是奇函数，时，函数有最大值，时，函数有最小值。故猜测：时，单调递减；时，单调递增。（3）依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。 如对，此时， 即 。 （1）记，求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）对于任意给定的正整数k，是否存在，使得若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解（1）又（2）数列是公差为2的等差数列，且7分（3）假设对于任意给定的正整数k，存在，使得则9分对于任意给定的正整数k，必为非负偶数，存在12分已知函数 （1）求曲线处的切线方程； （2）当a0时，若不等式恒成立，求a的取值范围。解：1分（1）曲线处的切线方程为即3分（2）令当令上为减函数，在上增函数。5分当在R上恒成立。上为减函数。6分当令在上为增函数。7分综上，当时，单调递减区间为。当当单调递减区间为（），（）8分（3）a0时，列表得：1（1，+）+00+极大值极小值又从而，当10分由题意，不等式恒成立，所以得从而a的取值范围为12分19（本小题满分16分）定义：若数列满足，则称数列为“平方递推数列”。已知数列中，点在函数的图像上，其中为正整数。 （1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列。 （2）设（1）中“平方递推数列”的前项之积为，即，求数列的通项及关于的表达式。 （3）记，求数列的前项之和，并求使的的最小值。20（本小题满分16分）已知其中是自然常数，（1）讨论时, 的单调性、极值;（2）求证：在（1）的条件下，（3）是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。19（1）由条件得：， 1分，是“平方递推数列”。2 分由为等比数列。3分（2）。 ，。 （3）， 。 由得， 当时，当时，因此的最小值为1005。 20（1） 当时，此时为单调递减当时，此时为单调递增的极小值为 （2）的极小值，即在的最小值为1