数分卷(A试点班2)解答.doc

华中师范大学 2004 2005 学年第二学期期末考试试卷（A卷解答）课程名称 数学分析2（试点班） 课程编号 83410004 任课教师 刘敏思 题型叙述题判断题计算题讨论题证明题总分附加题分值61015204910020得分得分评阅人一、叙述题（叙述下列概念、命题或性质。共2题，共23=6分）1、函数列在数集E上一致收敛的柯西准则。答：函数列在数集E上一致收敛，对一切正整数p及 总有 2、函数项级数在数集E一致收敛的阿贝尔法则答：若（1）在数集E一致收敛；（2）为E上一致有界的单调列，则 在数集E一致收敛。得分评阅人二、判断题（判断下列命题的正误。正确的打“”；错误的打“”并给出反例。共5题，共52=10分） 1、若与都发散，则也发散。 （ ）反例：取 ，显然它们都发散，但收敛。院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： - 密 - 封 - 线 -2、若 ，则 必收敛。 （ ）反例：取发散，但。3、若正项级数满足，则必收敛。 （ ）反例：取发散，但。4、若交错级数满足单调递减，则收敛。 （ ）反例：取发散，但单调递减。5、若满足，则必发散。 （ ）得分评阅人三、计算题（共2小题，共15分）（1）利用展式，及逐项积分性，求函数 在处的幂级数展式。（10分）（2）利用（1）求数项级数的和。（5分） 解：（1）因 .( 6分) 所以 .( 10分)（2）由（1）取，得。 第 1 页(共 3 页)所以 .( 5分)得分评阅人四、讨论题（共3小题，共20分） 讨论下列数项级数的敛散性（若级数收敛还要说明是绝对收敛，还是条件收敛） （1） （5分）； （2） （5分） 解：（1）当n充分大时，所以 .(3分) 而收敛，由比较法则知 收敛且绝对收敛。 .(5分) （2）由莱布尼兹法则知 此级数收敛 .(2分) 由 ， 所以 此级数当时条件收敛；当时绝对收敛。 .(5分) （3） （10分）解：当时此级数绝对收敛。 .(3分) 当时 由 得 此级数收敛。 .(7分)又由 得 此级数发散。 所以，当时此级数条件收敛。 .(10分) - 密 - 封 - 线 - 得分评阅人五、证明题（共4题，共49分） 1、（1）证明：数列收敛的充要条件是级数收敛。 （2）利用（1）证明数列收敛，其中。 （14分） 证明：（1）因 ，所以由级数收敛的定义可得结论 .(10分) （2）因 收敛，所以由（1）知 数列收敛。 .(14分)2、（1）证明：若在数集E上收敛于，则在E上一致收敛的充要条件是，其中， （2）利用（1）证明在上一致收敛。 （15分） 证明：（1）由级数一致收敛的定义及函数列一致收敛的确界法则知在E上一致收敛在E上一致收敛于 。 (10分) （2）此级数为交错级数，由莱布尼兹法则知 ， 所以 由迫敛性知 ，再由（1）在上一致收敛。 .(15分) 第 2 页(共 3 页) - 密 - 封 - 线 - 3、证明：在上不一致收敛，但在上连续，且有一阶连续的导数。（10分）证明：因，而发散，故在上不一致收敛。 .(4分) 又，而收敛，所以 在上一致收敛 从而在上内闭一致收敛。由连续性的内闭形式得 在上连续。.(8分) 同理可证在上内闭一致收敛，由可微性的内闭形式得 在上有一阶连续的导数。 (10分) 4、设为上收敛的可导函数列，如果导函数列在上一致有界，则函数列在上一致收敛。（10分） 证明：，将k等分，使得，记分点为 ，因，使 (4分) 由拉格朗日定理，对任意n，p有 再由收敛及柯西准则，存在，使得当时， .(8分) 记，则当时， 所以 在上一致收敛。 .(10分) 附加题：（20分）设数列单调递减，且，则（1）在上一致收敛的充要条件是数项级数 收敛。 （2）在上一致收敛的充要条件是 。证明：（1）充分性：由M法则立即可得。必要性：由一致收敛的柯西准则，存在，使得当时，对一切正整数p及，总有 。让 ，再由级数收敛的柯西准则收敛。 (10分)（2）必要性：由一致收敛的柯西准则，存在，使得当时，取p = n及，总有 ，特别取，并注意到及，得 ，所以 。再由迫敛性及不等式知 ，故。 充分性：记，由题设易知 。下证对任意及总有.（*），分三种情况