一元二次方程整数根问题的题与解法.doc

一元二次方程整数根问题解题探析 福建漳平市官田中学（364412） 李阿明一元二次方程整数根问题是初中数学竞赛常见的题型。它的解答方法在一些杂志上有了介绍，但大部分没有总结出规律性解法。学生在解答这类问题时，仍然要走很多的弯路，甚至茫然不知所措，无从思考。本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行归类，并做具体的解题指导，供同学们参考。一、观察已知的方程的两根能否先求出。若能先求出根（当然这里能求出的是含有字母系数的根），再根据整数的特点，确定字母系数的取值。例1 已知方程（a2 1）x2 2(5a+1)x +24 =0有两个不相等的负整数根根，则整数a = 解析：在a2 1 0条件下，可求得方程的两个根x1 = ，x2 = ； 由x1是负整数可得a的可能值为：- 2，-3，-5； 由x2是负整数可得a的可能值为：- 1，-2，-5； 取相同的a值- 2、- 5，即为所求。评注：原方程的两根可以先求出（用a表示），利用整除的性质，确定出所有的a的可能值。二、利用一元二次方程有整数根的必要条件是根的判别式为完全平方数，确定字母系数的取值（范围）。例2 已知方程x2 + kx k + 1 = 0(k为整数)有两个不相等的整数根，刚k = 解析：依题意可知 = k2 + 4k - 4是完全平方数，不妨设该平方数为t2,则k2 + 4k 4= t2, (k + t +2)(k+2 -t) = 8(k + t +2)与(k+2 -t)同奇偶且8是偶数，所以有： 解得k = 1 或 5经检验：k = 1 或 5满足题目的要求。评注：此题的关键在于设根的判别式为t2（t为整数），然后利用整数整数=整数，列举出所有的可能的因数积，从而巧妙求出k的值。三、利用根与系数的关系，转化为整数积的形式，讨论字母系数的可能取值。例3 求所有有理数r,使得方程rx2 + (r+1)x + r 1= 0的所有根为整数。解析：当r = 0时，方程有一个整数根1； 当r0时，设方程的两根为x1 、x2（x1 x2）。由根与系数关系可得x1 +x2 = = 1 x1 x2 = = 1 - 由消去 得（x11）（x21）= 3。由于x1、 x2是整数及x1 x2可得： 或 解得 或 把上述两组解代入 中，可求得r = 或1。经检验：r = 或1满足题意。所求的r = 、1、0。 评注：本题中的r是有理数，其取值不好确定，所以通过转化为讨论整数积的问题。当然要注意分r = 0和 r0两种情况讨论。四、变换主元，把原方程看成是要求值（或范围）的字母的方程，利用已知方程根的情况，求值（或范围）。例4 求使关于x的方程a2x2 + ax + 1 7a2 = 0的两根都是整数的所有正数a的和。解析：把方程化为（x27）a2 + ax + 1 = 0(关于a的方程)因x是整数，所以x27 0，关于a的方程有解，于是 = x2 4(x27)0;解得 x 。由于x是整数，所以x的可能取值为2、 1、0、1、2。把x的可能值代入转化后的方程中，求出a的一切值： 、 、 、1，其和为 。 评注：题中给出的条件：根是整数、a是正数。不容易直接求出a的值。注意到字母a的次数是二次，所以采取反客为主，转化为关于a的二次方程，再利用方程有根这一条件求出正数a的值。 一元二次方程整数根的问题