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文档简介

第一章 复数与复变函数教学课题：第一节 复数教学目的：1、复习、了解中学所学复数的知识；2、理解所补充的新理论；3、熟练掌握复数的运算并能灵活运用。教学重点：复数的辐角教学难点：辐角的计算教学方法：启发式教学教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：复变函数这门学科的一切讨论都是在复数范围内进行的，它是学好本们课程的基础。因此，复习、了解中学所学复数的知识，理解所补充的新理论，熟练掌握复数的运算并能灵活运用显得尤为重要。教学过程：1、复数域：每个复数具有的形状，其中和，是虚数单位；和分别称为的实部和虚部，分别记作，。复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等。如果，则可以看成一个实数；如果，那么称为一个虚数；如果，而，则称为一个纯虚数。复数的四则运算定义为：复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。2、复平面：C也可以看成平面，我们称为复平面。作映射：，则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。3、复数的模和辐角复数可以等同于平面中的向量，。向量的长度称为复数的模，定义为：；向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：（）。我们知道人亦非零复数有无限多个辐角，今以表示其中的一个特定值，并称合条件的一个为主值，或称之为z的主辐角。于是，。注意，当z=0时辐角无异议。当z有如下关系（，）复数的三角表示定义为：；复数加法的几何表示：设、是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、；（2）、；（3）、；（4）、；（5）、；（6）、；例1 试用复数表示圆的方程： （）其中，a,b,c,d是实常数。解：方程为 ，其中。例2、设、是两个复数，证明利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设、是两个非零复数，则有则有 即，其中后一个式子应理解为集合相等。同理，对除法，有即，其后一个式子也应理解为集合相等。例3、设、是两个复数，求证：例4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。解：直线：；圆：4、复数的乘幂与方根利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：令，则进一步，有共有-个值。例4、求的所
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