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固结理论研究综述目 录前言31 天然地基固结理论31.1 Terzaghi一维固结理论31.1.1Terzaghi一维固结方程及其修正41.2.2 Terzaghi固结理论研究现状51.2 Biot固结理论51.2.1 Biot固结方程61.2.2 Biot固结理论解析解研究现状71.2.3 Biot固结理论的数值研究现状81.3考虑流变的固结问题91.3.1线性流变固结问题91.3.2非线性流变固结问题101.4非饱和土的固结问题112 竖井地基固结理论122.1 单层竖井（Barron解）研究现状122.2成层竖井地基固结问题132.3未打穿竖井地基固结问题132.4不同加载情况下的竖井固结问题142.5考虑粘弹性的竖井地基固结问题152.6竖井的轴对称固结方程153 复合地基固结理论173.1研究现状173.1.1强排水桩复合地基固结研究173.1.2粉喷桩复合地基固结研究183.2存在的问题19小结20参考文献20ps：关于复合地基的固结理论资料的收集有待进一步补充和完善前言荷载作用时土体中产生超孔隙水压力，在排水条件下随着时间发展土体中水被排出，超孔隙水压力逐步消散，土体中有效应力逐步增大，直至超孔隙水压力完全消散，这一过程称为固结。土体在固结过程中，随着土中水的排出，土体孔隙比减小，土体产生压缩，体积变小，随着有效应力逐步增大，土体抗剪强度得到提高。土体的固结规律相当复杂，它不仅取决于土的类别和状态，也随土的边界条件、排水条件和受荷方式等因素而异。饱和土体的一维固结理论是Terzaghi（1925）首先提出的。后来，Rendulic(1936)将Terzaghi的一维固结理论推广到二维和三维情况，得到Terzaghi- Rendulic固结理论。这个理论除了保留Terzaghi一维固结理论的假定条件外，还假定在排水固结过程中，土中一点总应力之和保持不变，即未考虑应力与应变需要满足的相容条件。Biot（1941）进一步研究了三向变形材料与孔隙压力的相互作用，直接从弹性理论出发，确保土中应力和应变满足相容条件，得到了比较完善的三维固结方程。Terzaghi和Biot的固结理论均是建立在无限小应变的前提下，对更一般的情况，Schiffa（1980）总结了前人的研究成果，提出了一个更为普遍的固结理论表达式，它不仅考虑了应力-应变的非线性关系、渗透性随有效应力的变化，而且考虑了大应变的情况，Teraghi固结方程和Biot固结方程都是这一普遍关系式的特殊情况。另外，Barron（1948）在Terzaghi单向固结理论的基础上，建立了轴对称固结基本微分方程，并导出其解析解，在砂井地基设计中得到广泛应用。几十年来，固结理论的发展，主要围绕着以下几个方面：1. 随着土体微观结构性研究的发展，对土体本构模型进行修正，假设不同土体材料的模式，而得到不同的物理方程：(1)土骨架假设为弹性的各向同性与各向异性的)，塑性的，粘弹性的(线性与非线性以及它们的各种组合；（2）土中流体假设为不可压缩的，线性粘滞体的，可压缩的；（3）土骨架与流体间相互作用的不同考虑等。2. 进一步针对不同的土体特性、土层分布、边界条件、排水条件以及加荷方式等，对原有的Terzaghi固结方程、Biot固结方程进行修正并求解。3. 在运用数学工具推导固结方程的解析解的同时，借助各种数值计算方法对固结问题进行半解析或者数值研究。1 天然地基固结理论1.1 Terzaghi一维固结理论早在1925年，Terzaghi就提出了著名的有效应力原理，并据此建立了一维固结理论1，获得了一定的初始条件和边界条件下的解析解。由于对实际情况作了很多近似的假定，用一维固结理论来计算工程实际问题常有较大的误差。然而由于它简单、运用方便，且尚未有更合适、简便的方法代替它，目前各国估计沉降速率和孔隙压力消散的常规方法还是依赖于它。后来，Rendulic(1936)将Terzaghi的一维固结理论推广到二维、三维情况，得出Terzaghi-Rendulic扩散方程2。其应用表明，对于简单的几何形状和边界条件，可以求得扩散情况的解析解。对较复杂的边界条件和几何形状需要采用数值解法。事实上从40年代开始，人们已开始借助有限差分法对较复杂的边界条件和几何形状求解。Zhang jingde, Ai Zhiyong, Zhao Huming等(1996)采用加权残值法对二维和三维Terzaghi固结问题进行了分析求解3。1.1.1Terzaghi一维固结方程及其修正Terzaghi在其一维固结理论中做了如下基本假定：1. 土是均质的、完全饱和的理想弹性材料；2. 土体变形是微小的；3. 土颗粒和孔隙水是不可压缩的；4. 孔隙水渗流服从Darcy定律，渗透系数为常数；5. 荷载一次瞬时施加并维持不变，土体承受的总应力不随时间变化；6. 土体中只发生竖向压缩变形和竖向孔隙水渗流。最后推导得出的一维固结基本微分方程如下： （1-1）u超静孔压；Cv固结系数，；e0土体初始孔隙比。定义初始条件和边界条件为：u0初始孔隙水应力；H压缩层厚度。用分离变量法得方程解析解： （1-2）其中：；Tv为时间因素，。黄文熙在文献4中提供了一个反映一维固结过程的普遍方程。该方程综合考虑了外加荷重随时间变化，以及土的渗透性随时间变化等等可能遇到的情况，并认为Terzaghi一维固结方程其实是普遍方程在H常数，p=0及k=常数时的特例，是一维固结理论研究中的一种简单而特殊的情况。 （1-3）1.荷重随时间的变化将P=P (t), k常数，H常数代入式(1-3) ,得到相应的固结微分方程: （1-4）Olson(1970)给出了上式的解4。2.土层厚度随时间的变化由于外荷重的增量P=0 ,假设渗透系数k=常数，而土层厚度增长规律是H = H (t)，故该式变为: （1-5）其中，土层沉积厚度变化有两种情况，前者有解析解，Gibson(1958)对此已给出详细解答5；后者只有数值解。3.变形指标随深度变化令P=0, H常量，固结微分方程可以由普遍方程得到： （1-6）并且， 显然，求解复杂条件下的固结微分方程较为困难。当不能用解析法求得解答时，可以考虑采用差分法、半解析法等。1.2.2 Terzaghi固结理论研究现状多年来，一维固结理论获得了较大进展，研究方向侧重于对Terzaghi基本假设的修正。例如，考虑土的有关性质指标在固结过程中的变化，压缩土层的厚度随时间改变，非均质土的固结以及固结荷重为时间的函数等。这些修正，使得计算模型能更准确的反映土体的固结过程。Terzaghi固结理论是建立在土体为线弹性变形的假定条件下的，而实际土体通常为非线性变形体。Gibson等人(1967)提出了一维有限非线性应变固结理论6，它考虑了土体压缩性和渗透性与孔隙比的非线性变化，以及土体自重应力等方面的因素。Gibson和Schiffman等人(1981)用有限非线性应变固结理论分析厚层粘土的固结过程时发现，如果考虑土体的非线性，则求得的同一层土的固结速率比用Terzaghi理论推求的要快7。窦宜、蔡正银等人(1992)曾对Gibson建立的一维有限非线性应变固结理论得出了简化条件下的解析解8。 Gray9早在1945年即给出一维固结成层地基在瞬时加荷条件下的解析解。Schiffman and Stein10试图通过引用经典的Terzaghi固结理论来模拟成层体系。谢康和1112求解出变荷载下任意层地基一维固结问题完整的解析解，从而使成层地基固结理论趋于完善。但是这些解析解很复杂，因此在实际设计中很少采用。计算成层地基平均固结度U现有简化方法有加权固结系数法和平均指标法。Wilson(1974),Baligh(1978)等基于Terzaghi理论对矩形波载情况作了详尽的分析14，15，吴世明等(1988)推导了以积分形式表达的任意荷载的一维固结方程的通解16，这些都是针对单层弹性地基情况，蔡袁强等（1998）推导了弹性多层地基在循环荷载下的一维固结方程通解17。当固结应变达到40%以上时Terzaghi一维固结理论的小应变假定不再适用，一维大变形固结理论始于1960年，Mikasa18和Gibson7被认为是这一领域的开拓者，他们都致力于把小变形固结理论推广到更普遍的大变形固结理论。大变形固结理论沿着两个方向发展，一方面，基于Mikasa和GIibson等人的理论，进行理论的完善和数值求解及试验验证；另一方面，随非线性连续介质力学的发展，建立在其基础之上的有限元分析也不断取得进展19。Olson and Ladd（1979）指出，一维固结微分方程进行差分求解时，如果考虑土层厚度的变化就可以自动处理大变形固结问题20。1.2 Biot固结理论Biot(1941)考虑了固结过程中孔隙压力和骨架变形之间的依赖关系，根据有效应力原理、土的连续条件和平衡方程，提出了Biot固结理论21，并求得条形荷载下半无限地基固结问题的解答22。Biot固结理论与Tezaghi-Rendulic固结理论的主要区别在于23,前者考虑了固结过程中土体平均总应力随时间的变化，而后者则假定在固结过程中土体平均总应力保持不变。Cryer (1963)在Mandol (1953)的研究基础上，采用球状试样的固结试验发现了Mandol-Cryer效应，并被Gibson (1963)和De.Jong (1965)的所证实，Terzaghi-Rendulic理论中未显示出此效应，而Biot固结理论则能描述这种现象。 显然，Biot理论比Tezaghi固结理论及能更合理地反映土体的固结过程，但Biot理论理论的设计参数较多，由于岩土材料的复杂性，准确确定这些参数比较困难，按Biot方程求解固结问题的精确解相当麻烦，目前所见的Biot解析解只是在若干特殊情况下求得的。因此，通常须用有限元等数值方法求解，而计算结果是否合理在很大程度上仍依赖于计算参数的取值，这些都限制了Biot固结理论在工程上的应用。近十年来，电子计算机技术和有限元法的发展为Biot固结理论的应用提供了条件，使处理非均质材料、非线性应力-应变关系以及复杂的边界条件成为可能。 1.2.1 Biot固结方程 Biot从较严格的固结机理出发推导了准确反映孔隙压力消散与土骨架变形相互关系的三维固结方程，其基本假定为： 1.土骨架变形是线弹性的； 2.变形为小变形； 3.土颗粒与孔隙水均不可压缩； 4.孔隙水渗流符合达西定律。 在土体中取一微分体，若体积力只考虑重力，Z坐标向上为正，压力以压为正，则三维平衡微分方程为： （1-7）式中，r为土的容重，应力为总应力。根据有效应力原理： （1-8）上式可写为： （1-9）根据基本假定1，得到其物理方程为： （1-10）G ，剪切弹性模量与泊松比。根据基本假定2得到其几何方程为： （1-11）式中,w表示位移。应力应变符号在土力学中习惯以压为正，以拉为负，故上式与一般弹性力学中几何方程的符号相反。 将式(1-11)代入式(1-10)，再代入式(1-9),就得到以位移和孔隙压力表示的平衡微分方程: （1-12）式中： Laplace算子。此外，根据达西定律和饱和土的连续性得到以位移和孔压表示的连续性方程： （1-13） 饱和土体中任一点的孔隙压力和位移随时间的变化，须同时满足平衡方程(1-12)和连续性方程(1-13)，将两式联立起来，就是比奥固结方程。它包括四个偏微分方程，也含四个未知数u，wx ，wy ，wz ，它们都是坐标x，y，z和时间t的函数。要求解出这些微分方程组，在数学上是困难的。只有在特定的初始条件和边界条件下，如轴对称和平面应变中某些简单情况，才能推导出解析解。1.2.2 Biot固结理论解析解研究现状1960年Mc Namee和Gibson引入位移函数并利用Laplace变换与Hankel变换求解了轴对称荷载作用下单层地基的Biot固结问题24。 R.E.Gibson，J.R.Booke获得了有限厚地基表面沉降的复变函数固结解2526。Schiffman等人得到了空间一般荷载下单层地基的三维Biot固结解。Vardoulakis（1986）等人应用Mc Namee等人提出的位移函数求解了多层地基的三维Biot固结问题27。Booker and Small(1987)两人按类似于矩阵位移法的思路求解了多层地基的二维和三维Biot固结问题28，至此Biot固结问题得到了解答。黄传志等（1996）在假定下卧层是刚性的硬卧层的条件下，求得有限地基固结的全部解答29。1.2.3 Biot固结理论的数值研究现状 由上可见，要求解出Biot固结微分方程组，在数学上是困难的，只有在特定的初始条件和边界条件下，才能推导出解析解，因此，限制了固结问题在工程中的应用。随着计算技术的发展，固结理论才重现出生命力，并应用于工程实践。固结理论的数值分析方法主要有以下几种：差分方法、有限单元法、边界元法、加权残值法、半解析方法、有限层法等。现分述如下：1.差分方法 差分方法是将研究区域用差分网格加以离散，用差分公式近似代替所求解微分方程中的导数，从而得到差分方程。差分方程代表一代数方程组，以恰当方式求解后即可获得所研究课题的数值解。赵维炳、钱家欢(1985)采用中心差分的形式对比奥固结问题进行了求解30。但由于差分法要求网格的规则性等，目前在固体力学领域应用受到了一定的限制，主要集中在对时间域的处理上。2.有限元方法 有限单元法是以研究区域的变分形式，离散所研究的区域，成为有限数目的单元。Sandhu，Wilson (1969) 首先提出用有限元来求解Biot固结方程31。Sandhu等对位移取二次插值模式，对孔隙水压力则取线性模式，应用变分原理推出了Biot固结理论的有限元方程。终于使冷落了近30年的Biot固结理论重新引起人们的注意，使其在实工际程中发挥作用。Christian等人(1970)应用虚功原理也推出了Biot固结理论的有限元方程32。J.C. Small& J.R. Booker等采用拉普拉斯变换推导了Biot固结理论的有限元方程(1975) 33，并证明了该方法的收敛性(1977)34。Christian and Bochmer（1979）年结合有限元和有限差分法求解了Biot固结方程。S. Nishizaki，I.Saito, A.Ohiro等(1982)对有限元计算时所采用的各种单元形态进行比较，得出采用四边形单元可使得孔压和位移计算均较高的结论35。F. Zhou&W. Wittke (1997)将修正剑桥模型，推广到三维(Cam3D )，将其应用到固结分析，并对两个圆形基础的相互作用进行了分析36。国内这方面研究的发展也很快：沈珠江(1977)首先把Biot固结理论的有限单元法应用于固结分析，其中对位移和孔隙水压力都取线性模式，应用变分原理得到Biot固结理论的有限元方程，用以计算软土地基的变形37。殷宗泽等(1978)根据流量平衡概念，结合虚位移原理也得到了类似的方程，以分析饱和粘土的平面固结问题38。龚晓南(1984)采用等价结点流量等于等价结点压缩量的粘土饱和条件推导出Biot固结理论的连续方程，并与考虑K0固结的非线性本构模型结合起来分析了油罐地基的沉降39。 余志顽、赵维炳等将Biot固结理论推广到粘弹-粘塑性问题，采用有限单元法求解粘弹一粘塑性比奥固结问题40。其它将各种土体的本构关系应用于Biot固结理论，采用有限单元法求解固结问题，多不胜数。总之，近几年来，国内外根据Biot固结理论，应用有限元法求解地基固结问题得到愈来愈广泛的应用，产生了很好的社会和经济效益，有力地推动了土力学这一技术学科的发展。但由于三维问题的复杂性(网格复杂、自由度成数量级的增加)和计算机容量、耗时的限制等，目前三维比奥固结问题虽有些报道，但离实用尚有很大的距离。顺便指出的是，大连理工大学在固结问题有限元求解方法上，提出了参数二次规划理论和异步并行计算方法等，为有限元求解Biot固结问题提供了新的求解途径41，42。3.有限层法 有限层方法(Finite Layer Method)从某种程度上讲是在有限条方法基础上的进一步完善和发展。所谓有限条法是用位移逼近的有限单元法的一种特殊形式。它使弹性力学三维问题化为二维问题，二维问题化为一维问题，最终使得工程结构总刚度矩阵大大降阶，节省内存，并且大大缩短计算时间。有限层法是Y. K. Cheung(张佑启)& S. Chakrabarti (1972)在有限条法的基础上提出的。 J.C. Small & J.R. Booker于1979年首次采用有限条法分析了平面Biot固结问题43。1982年建立有限层法求解土体主、次固结问题，算例采用的是平面应变问题44。1988年采用有限层法计算了荷载随时间变化的土体Biot固结问题45。应该讲J.C. Small & J.R. Booker等为固结有限层理论作出了许多开创性的研究。但由于采用的数学手段较为繁琐，虽然建立了较为完善的理论(二维和三维)，但他们所采用的算例主要还是平面应变问题和轴对称问题，三维的算例尚不多见，限制了其发展国内最早采用有限条法分析Biot固结问题的是顾尧章等(1987)46。 梅国雄在宰金珉指导下将有限层法运用于固结问题，推导了三维横观各向同性地基土Biot固结有限层求解格式，并推广到求解非线性固结问题47，48，49。4.边界元法 边界元法是把物理课题所属区域上积分转化为区域边界上的积分，并利用离散技术求解边界积分方程的数值解。国外，80年代以来，Prededeanu50, Takemi Kuroki51以及C. Graeia-Suarea52在土体固结理论的边界元求解方面作出了许多的工作，Banerjee等在边界元求解固结问题上，作出了系统的研究工作，开发并不断完善二维和三维程序53。国内，林丰、陈环等以土体的位移平衡方程及孔隙水体的连续性方程作为边界元的控制方程，应用直接列式法建立土体的孔隙水压力、位移及有效应力积分方程，从而推导了线性平面应变Biot固结理论的边界积分方程，并应用于真空和堆载作用下砂井地基固结分析54。赵维炳、施建勇(1996)对边界元求解粘弹-塑性固结问题进行了理论上的探讨55。但由于边界元的系数矩阵是满阵，导致计算存储量较大，未必能节省计算时间，以及处理非线性问题的不方便性等，致使目前边界元在处理固结问理上进展不大。另外还有一些方法如加权残值法，半解析法等用在Biot固结问题的求解上,这里不赘述。1.3考虑流变的固结问题 流变在土力学中的应用最早是在土的固结问题中。起初在土力学的研究中，把与时间有关的问题都归结到土的固结中。Terzaghi一维固结理论，Rendulic - Terzaghi固结理论，Biot固结理论将土体视为弹性体，而没有考虑土的粘滞性，即没有考虑土体在固结过程中变形的次时间效应。然而许多工程实际都发现，上体不仅在超孔隙水压力完全消散之前产生固结沉降，即使在固结完成之后，即超静孔隙水压力完全消散之后，土体仍会产生一定量的沉降变形。这使人们认识到土的骨架是具有粘滞性的粘弹性体。1.3.1线性流变固结问题 Taylor and Merchant (1940)率先在固结分析中考虑了土的流变性质，提出了用Taylor和Merchant模型(即Kelvin模型)来模拟土骨架的变形57。 Gibson and Lo (1961)采用三元件模型(即Merchant模型)来模拟土的流变特性，对一维线性流变固结问题进行了较深入的研究58。其理论可较好的描述以下两种类型的土：(1)随着时间的增加，土的次固结速率减小；(2)在某一时刻之前次固结速率与时间的对数成正比，之后则迅速减小。 Lo (1961)发展了Gibson and Lo (1961)的理论，使其还可以描述第三种类型的土59：在某一时刻之前次固结速率随时间的增加而增长，之后则迅速减小直至为零。并且认为所有的土都是以上三种类型土中的一种。 陈宗基(1958)将流变理论应用于固结分析，并在此基础上导出了固结方程及其解答60，61。陈宗基模型从本质上来说是用一个Maxwell模型来模拟土骨架的变形。其认为次时间效应的发生主要是因为剪应力的作用，且次时间效应在固结过程的初期就己开始。 门福录(1963)指出陈宗基的解答形式过于复杂，难以用于实际工程问题，并给出了一种求解一维线性流变固结理论的近似解62。其方法把全部变形分成体积变形和畸变变形两部分，假定前者服从弹性定律，可用Terzaghi固结理论求解，而假定后者服从粘弹体定律，可用Lee氏比拟法进行求解。 徐志英(1964)对饱和粘土三维固结问题进行了理论分析63。其理论除假定粘土的骨架具有Kelvin型的蠕变性质外，作了与Terzaghi三维固结理论相同的假定，即不考虑孔隙水压力消散与土骨架变形之间的耦合作用。 Xie等(1996)对半透水边界条件下的线性流变一维固结问题进行了研究，得到了相应的解析解答64，其流变模型采用三元件模型。 以上的研究都只能考虑荷载为常数的情况，而不能考虑荷载随时间变化。王盛源(1981)运用Lee氏比拟法求解了变荷载下线性流变一维固结问题65，其采用的流变模型为三元件模型(即Merchant模型)。 赵维炳(1989)运用Laplace变换及逆变换求解了变荷载下线性流变一维固结问题67，提出运用广义Voigt模型来模拟土骨架的应力应变本构关系，并指出此模型适用于各种粘弹性土体。 Xie等(1997)采用三元件模型模拟土的流变特性，对循环荷载条件下的线性流变一维固结问题进行了研究，并给出了相应的解析解答68，指出循环荷载的形式对固结速率的影响非常明显。 以上的研究都仅限于单层地基的情况。Leo & Xie (2001)运用Lapiace变换及矩阵传递法求解了任意荷载下成层粘弹性地基一维固结问题69，此方法在作Laplace逆变换时运用了数值反演法，但是却未给出具体算例。1.3.2非线性流变固结问题 Barden (1965)首先把土的非线性流变特性引入固结问题70，他用非线性Kelvin模型来模拟土的非线性流变特性，考虑了主次固结的耦合效应，即在主固结阶段考虑了土体非线性流变的影响。并且认为，把固结过程人为的划分成主固结阶段和次固结阶段是武断的。 Garlanger (1972)71采用Bjerrum(1967)72非线性流变模型，对一维情况下的固结理论问题进行了分析，提出了一个固结过程控制方程，并用有限差分法进行了一系列计算与分析。 Wu等(1966)73利用“速率过程理论”(rate process theory, Eyring74, 1936)，从分析土的微观性质入手，给出了一个描述土体非线性流变的本构模型。进而把它用于分析土的一维固结问题。 在以上的固结模型中虽然考虑了土的压缩性在固结过程中是变化的(指随着有效应力的增加，土的压缩性减小)，但是却认为渗透系数是个常数，不随应变的发展而变化。但是试验研究发现土的渗透性在固结过程中是变化的，并且遵循一定的规律(Mesri and Rokhsar75, 1974)。 Sekiguchi and Toriihara (1976)76在Muragama等(1974)77提出的轴对称情况下非线性流变本构模型的基础上，建立了一个在k0条件下考虑土体非线性流变的一维固结方程。模型中考虑了渗透系数的非线性变化。 Berry & Poskitt (1972)探讨了正常固结泥炭土一维非线性流变固结问题78。他们分别对“无定形的粒状泥炭土”(amorphous granular peat)和“纤维状泥炭土”(fibrous peat)进行了分析。并认为其他形态泥炭土的性质(特别是流变特性)都处于这两种类型的泥炭土之间。其中前者的固结模型采用的是Terzaghi(1941) -Taylor (1940)模型79，56(即三元件模型，但是弹簧的弹性模量和粘壶的粘滞系数均为非线性的)，其中粘壶的流变模型采用Wu等(1966)模型73。而后者的固结模型采用的是Adams (1963)-De Jong (1968)模型81，82(即两个Terzaghi模型的串联，分别模拟大孔隙水压力的消散和微孔隙水压力的消散，同样地，弹簧的弹性模量为非线性的)。虽然对两种泥炭土采用了不同的固结模型，但是得到的固结控制方程却是非常相似的，并且得到的结论也很相似。 以上的各种非线性流变固结理论均只能考虑“正常固结土”，而对土在超固结状态下的固结过程未曾涉及。并且也没有考虑荷载随时间变化的情况。 Duncan等(1996)83用有限元方法编制了能同时考虑荷载随时间变化、非线性流变和超固结的一维固结程序CS1，但是此程序却没有考虑固结系数随时间变化，与上面的固结理论一样，也未考虑土体自重应力的影响和土的成层性。 Mesri & Choi (1985 )84用有限差分法编制了能同时考虑土的非线性流变特性、渗透系数和荷载随时间变化、土体自重以及超固结和土的成层性的一维固结计算程序ILLICON。但也只是一种近似的方法，而非精确的方法。 一般情况下，由于非线性流变固结问题的复杂性，得到的固结控制方程都是非线性的偏微分方程或方程组。所以很难用解析方法得到解答，一般都是采用数值计算方法。其中最常用的就是有限差分法(Barden70，1965；Garlanger71，1972；Sekiguchi&Toriihara76，1976；Berry&Poskitt78，1972；Mesri&Choi84，1985)和有限元法(Duncan等83，1996)，以及半解析法(谢康和、李冰河85，1999)。以上流变问题的研究都是将原有的线弹性固结模型中的线性弹簧用相关的流变模型来代替，它可以充分考虑了土与水两种介质的相互作用，用来模拟计算各种厚度以及不同排水条件下的沉降变形，其缺点是不能反映加载初期短时间内发生的较大沉降；另外将流变模型引入至固结理论中时，在数学上存在一定的困难，对复杂的流变本构模型难以处理。同济大学孙均等86提出了一种固结流变统一性的本构模型，这种研究方法把饱和土体看作是一种单一介质，可以在本构模型中考虑蠕变、应力松弛等各种特性，因此就可以应用到比较广阔的领域中去，但这种模型只考虑了应力水平对固结的影响，而无法将水在土中的作用描述清楚，在软土层厚度、排水条件变化时，如砂井地基，这种流变模型显然就无法描述土中的变形规律了。1.4非饱和土的固结问题早在六十年代初人们就开展非饱和土固结问题的研究。代表性的有Scott.R.F（1963）88，Barden（1965）89。Scott根据孔隙气泡吸附土体骨架的假设，建立了孔隙水消散的固结方程, Scott方程中孔隙水的压缩性参数难以测定。Floquc (1961)提出了非饱和土考虑流变问题的固结模型，并导出了本构模型。Fredlund等（1979）90从Trerzaghi固结理论出发，分别考虑非饱和土固相、液相、气相的本构关系，建立了相应的固结方程，它概念明确形式简单，然而方程中有关孔隙水相的本构关系难以建立。Lloret（1980）91从非饱和土孔隙水相和孔隙气相的质量守恒方程出发，利用E. L. Matysa andH. S.Radhakrishna(1968)92的土体孔隙比e状态方程和饱和度Sr状态方程作为补充方程，将它们联合求解。Chang and Duncan(1983 )93对高饱度土体，建立了混合流体固结方程，方程推导时认为混合流体的孔压um等于孔隙水压uw。此外，在分析孔隙流体的压缩系数时，忽略了孔隙水、气界面的表面张力2q /r。事实上，对非饱和土而言表面张力是存在的，并且是相当重要的影响因素，也是非饱和土有别于饱和土的一大特征。杨代泉(1990)94分别考虑孔隙水、孔隙气体的消散，根据质量守恒定律、孔隙率状态方程和吸力状态方程，建立了非饱和土广义固结理论。陈正汉(1991)95在有效应力理论的基础上，把非饱和土看作固体颗粒、孔隙水和孔隙气体三种物质组成的一种混合物的特例，建立了非饱和土固结的混合物理论，开展了卓有成效的研究。张庆华等(1996)96假设孔隙流体为单一孔隙混合体，考虑孔隙流体的压缩性、土体吸力变化，建立孔隙流体消散的固结方程，并给出一维半解析解答，以探索非饱和土的固结规律。 非饱和土固结是个相当复杂的问题，就目前理论研究来看，虽然取得了令人瞩目的成就，但是，与解决工程问题的要求，还有不少不能尽如人意的地方：a.简化假设过多；b.数学推导严密，难以运用到工程中去，难以与已有较为成熟的饱和土理论很好衔接；c.现场孔隙气压测试、吸力测试尚存在困难。2 竖井地基固结理论传统的理论都把竖向排水体(袋装砂井或塑料排水板)当做砂井来考虑。1940-1942年， Barron提出了仅考虑径向渗流，且认为砂井排水能力为无穷大的理想井理论97，Newman- Carrillo在1942年证明了瞬时加载条件下砂井地基中的径、竖向渗流可分为径向竖向渗流单独考虑然后合并的Carrillo定理。1948年，Barron借助Carrillo定理，总结了在自由应变和等应变两种极端条件下的理想井理论，指出自由应变条件下理论解较等应变条件下理论解形式复杂，但二者结果的差别不大，首次给出了以上两种情况下考虑涂抹作用，以及在等应变条件下考虑井阻作用的砂井理论，从而成为了世界上公认的砂井理论权威。半个世纪以来，国内外许多学者对Barron解进行了进一步的研究，取得了很多有用的成果。2.1 单层竖井（Barron解）研究现状 Barron (1948)98对砂井地基固结进行解析研究，并提出了轴对称固结等竖向应变(equal vertical strain，简称等应变)和自由应变(free strain)概念，一直被后来的学者们所采用。Barron求解了只考虑径向渗流的砂井地基固结方程，给出了两种应变条件下的理想井固结解，和假定涂抹区不可压缩的无井阻情况下的等应变和自由应变固结解。当考虑井阻作用时，他给出了等应变解，但该解是近似的，因为只有在t=0时才满足固结方程。Hansbo (1981)99发展了Barron的理论，考虑了涂抹区的压缩性和井阻作用，但他的解也是近似的，因为他忽略了井阻作用下砂井地基的体积应变是随深度变化的这一事实。1.自由应变条件下Barron解发展现状Horne (1964)100推广了Barron的自由应变固结方程，使之能综合考虑地基土体的径竖向组合渗流，但忽略了井阻和涂抹。 Yoshikuni (1974, 1979)101，102深入地发展了Barron自由应变条件下竖井地基固结理论，取得了以下主要研究成果：1)首次详细推导了竖井地基自由应变固结方程，完善了Barron自由应变固结的定义和假定；2)建立了竖井区流量连续方程，从而使考虑井阻的竖井地基自由应变和等应变固结方程的求解成为可能。该方程常称为Yoshikuni流量连续条件；3)提出的数学模型能综合考虑径竖向组合渗流。 Onoue (1988)103发展了Yoshikuni的理论，研究了涂抹作用对竖井地基固结的影响，并给出了径向正交公式。这是迄今最完善的自由应变条件下竖井地基线弹性固结解析理论。另外，Tang Xiaowu (1998a)104详细探讨了将Yoshikuni理论推广到双层竖井地基的可能性。证明了如果仍采用Yoshikuni的流量连续条件，则自由应变条件下双层竖并地基固结方程无解。2.等应变条件下Barron解发展现状 谢康和(1989)105建立了等应变条件下仅考虑径向渗流的打穿软粘土层的砂井地基固结解析理论，并给出了求解等应变固结方程的一个简易有效的方法。该理论较同样条件下现有理论更接近自由应变条件下严密的但较复杂的Yoshikuni(1974)101理论。 谢康和(1993)106, Tang Xiaowu (1996. 1998a)107，104发展了竖井地基等应变固结理论，给出了柱坐标系下径竖向二维固结方程解。至此，Barron等应变条件下单层竖井地基线弹性固结理论已得到了比较完善的发展。2.2成层竖井地基固结问题 Horne (1964)100首先研究了等应变条件下双层竖井地基固结问题。求解了直角坐标系下的双层理想井地基固结方程，得到了求时间因子的特征方程。但没有给出孔压、固结度解的具体表达式，而且其求解方法不便于理解与应用. 谢康和(1994, 1995)108，109完善了Horne双层理想井固结理论。给出了柱坐标系下的等应变固结方程，其求解方法简单、清晰。并得到了各种情况下的特征方程组，和孔压、固结度解的具体表达式。但是，谢的解中包含了实的和虚的特征根，还有与之相对应的三角函数和双曲函数，而且最终的解有四种形式，比较复杂，不易推广到多层(三层或三层以上)理想或非理想井地基。 Tang Xiaowu (1997a,1998a)110，104对谢的解作了改进。证明了对于多层理想井地基固结问题，包含三角函数和双曲函数的解可采用只含有三角函数的解统一表示。因此，谢的求解过程得到了简化，以便于推广到任意层理想井地基固结方程的求解。 Tang Xiaowu (1997b, 1998a)111，104进一步发展了双层理想井地基固结理论，得到了等应变条件下考虑井阻和涂抹的双层非理想井解，并提出了一套推导多层竖井地基固结正交公式的简便方法。这是迄今最为完善的双层竖井地基固结解析解。2.3未打穿竖井地基固结问题Hart (1958)112首先对软土层底面不排水的未打穿竖井地基固结进行了理论研究和试验研究，提出了迄今仍在广泛采用的求总平均固结度的近似计算式。 （2-1）式中，Pw=L/H，称为打穿度(贯入比)，L为竖井长度，H为软土层厚度，U为未打穿竖井地基总平均固结度：Urz为竖井打穿整个软土层情况下或竖井深度范围内土层的平均固结度，可按谢康和解(1989, 1993)105，106计算；Uz为竖井底面以下土层的平均固结度，按太沙基一维固结理论计算，排水距离取H或H-L(此时取竖井底面为排水面)。 显然，由于打设竖井，竖井底面以下土层的排水条件得到改善，其竖向排水距离将小于H，故Hart等人的方法是偏于保守的。另一方面，将竖井底面视为排水面也是欠妥的，因为竖井的存在对其下土层排水条件的改善毕竟有限，当考虑井阻时更是如此，所以按此计算得到的固结度偏大，在某些情况下(谢康和113，1987)甚至会大于打穿竖井地基固结度，这是不合理的。谢康和(1987)113对Hart法作了改进。不论是对于理想井还是非理想井，也不论是单面排水还是双面排水，均用式(2-1)计算U，计算Urz时竖向排水距离取为软土层厚度H，而计算Uz时竖向排水距离为： （2-2） （2-3）其中，r 和z分别表示竖井地基径向固结、天然地基竖向固结时间因子。 当竖井排水能力很大时(即r远大于z)，=1，H=(1-Pw)H=H-L，竖井底面即下卧土层的排水面；当井阻很大时，r远小于z，=0, H=H，则下卧土层的排水面为竖井地基顶面。一般情况下，01 ,H-LHH，即下卧土层的排水面介于竖井地基顶面与底面之间。 改进法较为真实地反映了未打穿竖井地基的特征，而且实际应用不会增加多少计算量，得到的平均固结度介于Hart法与国内法之间(谢康和113，1987)较为合理。 Tang Xiaowu (1998b)114首次得到了未打穿非理想井地基固结问题的解析解。他将通过竖井底部的水平面称为透水面(the plane of penetration)，透水面以上称为竖井排水部分(drained section)，满足等应变条件下考虑径竖向组合渗流的竖井地基固结理论(谢康和106，1993；Tang Xiaowu107，104, 1996, 1998a)，透水面以下称为非竖井排水部分(undrained section)，满足太沙基一维固结理论。关于透水面上的连续条件，Tang Xiaowu作了如下假定： 1)竖井内的超孔隙水压等于井径范围内下卧土层的超孔隙水压。 2)井径范围以外竖井排水部分平均超孔隙水压等于非竖井排水部分超孔隙水压。 3)透水面上的总水流量连续。 对于通常意义上的未打穿竖井地基，透水面上下为同一土层。为便于研究，Tang Xiaowu两部分的土体取不同的物理力学参数。如参数相同，便可得到通常意义上未打穿竖井地基固结解析解。2.4不同加载情况下的竖井固结问题 Olson (1977)115认为，变荷载下考虑径竖向组合渗流的竖井地基固结问题的求解可采用Carrillo定理，但他没有就此方法的可行性作出论证。谢康和(1987)113和Tang Xiaowu(1998a, 2000)104，116分别证明了Carrillo定理不适用于Barron自由应变和等应变条件下的荷载变化施加的竖井地基固结问题。对于非瞬时加载的情况，Terzaghi（1943）提出了修正法117，但其只适用于等速加荷情况，而在变速加荷情况下是近似的。 Yoshikuni (1979)102采用了太沙基的近似方法，通过对自由应变条件下的瞬时加载解修正得到了单级等速加载情况下的解。 日本学者高木俊介（1955）提出了逐渐加载下的砂井地基的计算和分析方法，变速加荷情况下考虑径向和竖直向同时排水，根据Barron理论推导出砂井地基平均固结度。 谢康和(1987)113证明了用高木俊介法求解变荷载下竖井地基固结问题是精确的，即对于自由应变和等应变条件下的竖井地基固结方程，变荷载下的解可由瞬时加载解通过下式求得： (2-4)式中，Ut为变荷载下t时刻固结度，U为瞬时加载下t时刻固结度，qu为最终荷载，R(t)为t时刻加载速率。 曾国熙(1990)118也对这个定理进行了说明。 Lekha (1998)119以孔隙比和有效应力为变量建立了等应变径向固结方程，给出了初始荷载不为零条件下的竖井地基非线性固结理论。 Tang Xiaowu (1997c, 1998a, 2000)120，104，116利用偏微分方程理论中的齐次化原理，得到了等应变条件下荷载单级或多级等速施加的同时考虑井阻和涂抹的竖井地基固结解析解。此外，利用叠加原理，他还得到了初始荷载不为零的解。2.5考虑粘弹性的竖井地基固结问题 软粘土的流变是一个重要的工程性质，许多学者采用各种流变模型模拟土体的骨架，建立了相应的软土地基粘弹性固结解析理论(钱家欢121，122，123，124，125，1966, 1986,1988, 1991, 1992；黄文熙4，1983)。 赵维炳(1988)126采用广义Voigt模型，提出了自由应变条件下考虑涂抹、等应变条件下考虑涂抹和井阻作用的竖井地基粘弹性固结解析理论，解的形式有广泛的适用性，可概括Barron线弹性解(1948)98和钱家欢粘弹性解(1986)122，还证明了Carrillo定理不再适用于饱和土体粘弹性固结方程。 钱家欢(1988)123提出的真空预压砂井地基固结分析的半解析法中，孔隙水压用解析公式计算，位移则用数值法求解，这种方法计算比较简便，可以考虑比较复杂情况，如土体三维固结、粘弹性、砂井井阻和涂抹及砂井群的共同作用等，较好地解决了粘弹性砂井地基固结问题，但此法只适用于半无限大均质地基，而且计算结果与实测值相差较大。赵维炳(1991)127作了改进，使之也适用于堆载预压和成层地基情况，可考虑土的粘弹性、固结三向性、砂井群共同作用、井阻和涂抹的影响，对加固面积和砂井根数无限制，而且计算精度有了很大提高。但其成层地基粘弹性孔压和固结计算式是近似的。 房营光(1996)128从Terzaghi-Rendulic三维固结方程出发，对砂井地基固结的空间渗流和群井效应作了解析研究。但其群井