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8最小二乘估计 1 经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程 2 知道最小二乘法的思想 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 上节课我们讨论了人的身高与右手一柞长之间的线性关系 用了很多种方法来刻画这种线性关系 但是这些方法都缺少数学思想依据 问题1 用什么样的线性关系刻画会更好一些 想法 保证这条直线与所有点都近 也就是距离最小 最小二乘法就是基于这种想法 问题2 用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方便有效 方法一 点到直线的距离公式 方法二 问题3 怎样刻画多个点与直线的接近程度 先来讨论3个样本点的情况 利用配方法可得 同样使用配方法可以得到 当 从而得到直线y bx的系数 b 且称直线y bx为这3个样本点的线性回归方程 用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数 思考 如果样本点只有两个 用最小二乘法得到的直线与两点式求出的直线一致吗 解 是一致的 与两点式相同 下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数 y 与当天气温 x 的对比表 1 试用最小二乘法求出线性回归方程 2 如果某天的气温是 3 请预测这天可能会卖出热茶多少杯 1 作散点图如图所示 解 由散点图知两个变量是线性相关的 计算各种数据如下表 于是 则 分步计算减少出错 于是 线性回归方程为y 57 557 1 648x 2 由回归方程知 当某天的气温是 3 时 卖出的热茶杯数为 57 557 1 648 3 63 杯 1 利用最小二乘估计时 首先要作出数据的散点图 利用散点图观察数据是否具有线性关系 2 散点图呈现线性关系时 利用最小二乘公式求出方程 3 直线拟合只是拟合的方式之一 散点图呈现其他的规律时 我们也可以利用其他的曲线进行拟合 求线性回归方程的步骤 1 列表 计算 2 代入公式求a b 3 写出直线方程 1 已知x y之间的一组数据如下表 则y与x的线性回归方程y a bx必经过点 a 2 2 b 1 5 0 c 1 2 d 1 5 4 d 2 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表 1 画出销售额和利润额的散点图 2 若销售额和利润额具有相关关系 计算利润额y对销售额x的线性回归方程 解 1 2 数据如下表 可以求得b 0 5 a 0 4线性回归方程为 百万元 千万元 利用试验数据进行拟合时 所用数据越多 拟合效果越好 但即使选取相同的样本数 得到的直线方程也可能是不相同的 这是由样本的随机性造成的 样本量越大 所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系 3 下面是两个变量的一组数据 请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程 思考 哪一个对呢 你认为问题出在哪里呢 y 15 9x 所以 利用最小二乘法估计时 要先作出数据的散点图 如果散点图呈现一定的规律性 我们再根据这个规律性进行拟合 如果散点图呈现出线性关系 我们可以用最小二乘法估计
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