含参变量有限积分的质及应用.doc

重庆三峡学院数学分析课程论文含参变量有限积分的性质及应用院 系 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学（师范）姓 名 张杨府 年 级 2009级 学 号 200906034142 指导教师 刘学飞 2011年6月1 含参变量有限积分的性质及应用 张杨府 (重庆三峡学院 数学与统计学院 2009级数本一班)摘 要: 本文主要通过含参变量有穷积分的连续性定理、积分号下可微分定理、积分号下可积.分定理、积分次序可换定理来说明含参变量有限积分的性质，并且阐述了它在数学中的应用。关键词: 参变量 有限积分 连续性 可微性 可积性1 含参变量的有限积分的定义设二元函数在矩形域有定义, 一元函数在可积,即积分 存在. 都对应唯一一个确定的积分.于是,积分是在定义区间的函数,表为= 称为含参变量的有限积分, 称为参变量. 2 含参变量有限积分的性质定理定理1如果函数在矩形域连续,则函数= 在区间也连续. 该定理表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运算的顺序是可以交换的. 证明 ，取，使+,有=|函数在闭矩形域R一致连续，即,有 |特别是 于是 ，有 |，即函数在区间连续。定理2 如果函数与在矩形域 连续,则函数= 在区间可导,且有 或简称积分号下可微。该定理说明了被积函数及其偏导数在闭矩形上连续时,倒数与积分运算时可以交换次序的。证明 ，取，使，有=. (1)已知 在R存在，根据微分中值定理，有=， 。将它代入（1）式等号两端除以，有=，。在上面等式等号两端减去，有|由所学知，函数在闭矩形域R一致连续，即 ,有从而，有|即=或=.定理3 如果函数在矩形域连续, 则函数在区间 可积,且简称积分号下可积。该定理表明,定义在闭矩形域上的连续函数,关于不同变数的积分(简称累次积分)可交换积分次序。定理4 若函数与在矩形域R连续，而与在区间可导，有, ,则函数=在区间可导，且=+证明 ，设与=有 =已知，都是连续函数。则函数关于变量可导，有=+其中= = =则 =+将 代入上式得： =+例1 求 I= (0a0)。解: , 暂时固定, 使 显然, 被积函数 在矩形域 R 都连续,则有 F(y)= =例3 求I= 解: 考虑含参变量t 的积分所确定的函数 显然, 在0,10,1上连续,由于 = =所以 I=例4 设 ,求解: = =例5 .证明：函数在区间连续，则函数 =, 是微分方程的解，并满足条件证明 求函数的阶导数，有= =即函数是微分方程=的解。显然，当时，.参考文献1 刘玉琏.傅沛仁等.数学分析M. 第四版，出版地:北京市西城区德外大街四号.出版者: 高等教育出版社.出版年份:2003年7月. 2 华中科技大学数学系. 复变函数与积分变换学习辅导与习题全解.3 钟玉泉. 复变函数论M. 高等教育出版社（第二版）.4 北京大学力学系高等代数M北京：人民教育出版社，1979 Contain parameter of the nature and theorem of limited pointsZhang yangfu(Chongqing institute Three Goreges University Mathematics and statistics institute Class one of Grand 2009)Abstract: This paper explains the nature of integral with parameter limited integral by mainly through contain parameter is poor, integral theorem of integral theorem, under the number of differential, can be integral theorem of integral theorem can be changed to Explain the nature of integral depending on a parameter with limited , and expounds its application and theor