动态直线与圆的相切问题(4).doc

动态直线与圆的相切问题张家港市第一中学 曹一红动态直线与园的相切问题是近年中考试卷中的一个亮点.这类试题既考查学生的动手操作能力和空间想象能力,还考察学生的分类思想,数形结合思想,计算能力等.解决此类问题的主要思路是在动中取静,在静中探静.也就是用运动和变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,灵活运用切线的判定方法,结合所学知识解决问题.灵活运用切线的判定方法,就是根据题目中是否给出直线与圆有公共点的情况,选择不同形式的判定途径.当题设给出直线与圆有公共点时,可根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的直线”来判定。具体操作上，先连接公共点和圆心，再证明直线垂直于这条半径。当题设没有给出直线与圆有公共点时，可根据圆心到直线的距离等于半径这一数量关系来判定。具体操作上，先经过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段长等于圆半径，这条直线就是圆的切线。一、 定圆和动直线相切问题例1，（2008年南京市中考题）如图1，已知O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm,射线PN与O相切于点Q,A,B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为ts（1）求PQ的长（2）当t为何值时,直线AB和O相切解题思路:(1)连接OQ,因为PN与O相切于点Q,根据圆的切线垂直于经过切点的半径,所以PNOQ,即OQP=90,在RTOQP中,由勾股定理得PQ=OP-OQ=10-6=64,所以PQ=8 cm(2)由题设知A,B两点同时从点P出发,分别沿射线 PM,PN方向匀速运动,直线AB与O的位置关系随着运动时间的变化依次出现以下5种情况:相离,相切,相交,相切,相离.所以与O相切的直线AB有两条,如图1图2,本题有两解.题中没有给出直线AB与O有公共点,故作OCAB于点C,只要OC长等于O的半径6 cm,即知直线AB与O相切.点A的运动速度为5cm/s, 点B的运动速度为4cm/s, 运动时间为ts.PA=5t cm ,PB=4t cm .=,=,=,=,又APB=OPQ, PABPOQ, ABP=OQP=90,OCB=OQB=CBQ=90,四边形OCBQ为矩形, BQ=OC. O的半径为6 cm,BQ=OC=6 cm时.直线AB与O相切. 当AB运动到如图1所示位置,BQ=PB-PQ=8-4t,由BQ=6得8-4t=6,解得t=0.5s. 当AB运动到如图2所示位置,BQ=PB-PQ=4 t-8,由BQ=6得4 t-8=6,解得t=3.5 s所以当t为0.5 s或3.5 s时, 直线AB与O相切二.动圆和动直线相切问题例2,(2008年江苏省无锡市中考题)如图3,已知点A从(1,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴正方向运动,以O,A为顶点作菱形OABC,使点B,C在第一象限内,且AOC=60;以P(0,3)为圆心,PC为半径作圆,设点A运动了t秒.求(1)点C的坐标(用含的代数式表示)(2)在点A运动的过程中,所有使P与菱形OABC的边所在直线相切时的t值. 解题思路:(1)过点C作CDx轴于点D. 菱形OABC的边OA=1+t, OC=1+t.在RTOCD中, DOC=60,OD=OCCOS60=,CD=OCCOS60=点C的坐标为(,)(2) 点C是P与直线OC的公共点,观察图3知,PC不可能垂直BC,所以P和直线BC不能相切.当PCOC时, P与直线OC相切,在RTOCP中,OC=OPCOSCOP=3COS30=,OC=OA=1+ t, 1+t=,解得t=-1.如图4,点P的坐标为(0,3), PO x轴,即PO直线OA.,当P的半径PC=PO=3时, P与OA相切,作PDOC于点D,则OC=2OD=OA,在RTODP中,OD=OPCOS30=,OA=2OD=3,1+t=3.解得t=3-1如图5,作CDOA于点D,作PE直线AB,垂足为E,交OC于点F,当PE=PC时,AB是P的切线.S=ABEF=OACD=ABCD, EF=CD, 菱形OABC, OCAB, PEAB, PEOC, 在RTOFP中,PF=OPsinPOF=3sin30=PC=PE=PF+EF=+过点C作CGy轴于点G, CGO=GOD=CDO=90. 四边形ODCG是矩形,OG=CD=PG=OG-OP=-3,CG=OD=,在RTPCG中