2013年希望杯第2试试题及答案解析.doc

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初一 第2试试题2013年4月14日 上午9：00至11：00竞赛结束时，只交答题卡，试卷可带走。答案于今日11：00在以下网站和微博公布：“希望杯”官方网站：“希望杯”微博：/xiwangbei数理天地官方网站：数理天地微博：/shulitiandi未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式(包括网络)转载。一、选择题(每小题4分，共40分)12011年我国国内生产总值达473万亿元，将这个数据用科学记数法表示是( )(A)4731010元(B) 4731011元(C) 4731012元(D) 4731013元2某天，黑河凌晨的温度比上午9点的温度低12，中午12点的温度比凌晨的温度高20，晚上9点的温度比中午12点的温度低19，若当天上午9点的温度记为a，则当天晚上9点的温度应记为( )(A)(a32)(B) (a11)(C) (32a) (D) (11a)3若(y21)x2(y1)x9=0是关于x的一元一次方程，是代数式(4xy)(2xy)y的值是( )(A)54(B)56(C)169(D)1714已知a是整数，则下列代数式中，值不可能是整数的为( )(A) (B) (C) (D) 5如图1，取一张长方形的纸片ABCD(AB=9，AD=5)；向右上方翻折AD，使D恰好落在AB边上的D处，压平后折痕交CD于点E，再将BCED沿DE向左翻折压平后得BCED，BC交AE于点F。则此时形成的四边形BFED的面积是( )(A)20(B)16(C)12(D)8图1 6ABC的内角分别为A，B，C，若1=AB，2=BC，3=AC，则1，2，3中( )(A)至少有一个锐角(B)三个都是钝角(C)至少有两个钝角(D)可以有两个直角7方程|x1|2x1|=1的整数解的个数为( )(A)0(B)1(C)2(D)38If represents the largest prime number not more than a，then the value of the expression () is ( )(A)1353(B)2013(C)2079(D)4068(英汉词典：largest 最大的；not more than不超过；prime number 质数；expression 表达式)9公交车上显示线路号码的每个数字都是由七个同样的液晶条组成。若某线路号码是两位数，并且是两个质数之积，但由于液晶条坏了一个，不能发光，显示成“51”路(如图2)，则符合要求的质数中最小的一个是( )(A)3(B)5(C)7(D)1110如图3，边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG并排放在一起。连接EG并延长交AC于K。则AKE的面积是( )(A)48cm2(B) 49cm2(C)50cm2(D)51cm2二、填空题(每小题4分，共40分)11若a表示x与y的和的平方，b表示x与y的平方和，则当a=49，b=25时，xy= 12如图4，长方形ABCD的长DC=8，宽AD=5，E是AB的中点，点F在BC上，已知DEF的面积为16，则点D到直线EF的距离为 13若a，b，c都是质数，其中a最小，且abc=44，ab3=c，则abc 14If a3=b9=c6，then the value of (ab)2(bc)2(ca)2 is 15奇奇开车从北京去少林寺旅游，在高速公路和非高速公路上的行驶速度分别是120千米/时，60千米/时。若奇奇驶完全程用了6小时，其中在高速公路上行驶的路程是在非高速公路上行驶的路程的6倍，则全程长 千米。16如图5，在直角ABC的两直角边AC、CB上分别作正方形ACDE和CBFGAF交BC于W，边接GW若AC=14，BC=28，则SAGW= 17用2，0，1，3组成一个自然数，且每个数字至少用一次，其中可被255整除的最小的数是 18如图6梯形ABCD中，ADBC，BA=AD=DC，BC=2AD，若平行于底边的一条直线EF把梯形分成周长相等的两部分，则= 19已知abc0，若m=，则m22m1= 20在图7中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减2，这算经过一次操作经过若干次操作后，图7能变为图7则图7中A格内的数是 三、解答题每题都要写出推算过程21(本题满分10分)两个同样的圆柱形水池A和B，深度都是12米1号抽水机18分钟可将A池注满，2号抽水机24分钟可将A池的满池水注入B池现在，若A池中储有池水，B池没有水，同时打开1号，2号抽水机，当A池水深06米时，同时关闭两个抽水机，求此时B池的水深22(本题满分15分)如图8，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、BC的中点，DE与AF交于点P，点Q在线段DE上，且AQPC求梯形APCQ的面积与平行四边形ABCD的面积的比值23(本题满分15分)如图9，边长为1的等边三角形ABC从图示的位置开始在数轴上顺时针无滑动地向右滚动当三角形的一个顶点落在x=2013处时，三角形停止滚动落在x=2013处的点是三角形ABC的哪个顶点？说明理由在滚动的过程中，点A走过的路是多少？若在滚动的过程中A走过的路是某个圆的周长，求这个圆的半径第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试答案与解析一、选择题(每小题4分，共40分)1选：D；2选：B；3选：D；【解析】由题意可得：y21=0，y10，可得y=1，进而x=4选：D；【解析】平方数不可能是除以3余2的数，所以一定不是整数5选：C；【解析】S阴影=SADESABF=5511=126选：C；【解析】1、2、3看作此三角形的三个外角7选：A；【解析】分x-1；-1x；x三种情况分别化简后解方程，得出无解的结论8选：B；【解析】=733=63，()=61311=20139选：A；【解析】后两位可能是：57=193；或91=137；61不是质数之积10选：B；【解析】斜边是6+8的等腰直角三角形面积减去斜边是8-6的等腰直角三角形的面积二、填空题(每小题4分，共40分)1112；12；【解析】设BF=x，由58=16+54+4x+8(5-x)，x=3，EF=5，d=1355；【解析】44是偶数，所以a=2，b+c=42，2b+3=c，得b=13，c=2914378；【解析】将a-b=-12，b-c=15，c-a=-3代入15630；【解析】设全程为7a千米， + =6，a=90，7a=63016196【解析】S阴=SACF=SAFG-SCFG=2842-2828=19617123300；【解析】225的倍数的末两位是25，50，75，00，循环出现所以要找的数只能是末两位是00的数，即是2254=900的倍数，所以问题转化为1、2、3组成的数是9的倍数，最小是123318；【解析】AB=AD=DC=x；BE=CF=a，2x+2a=2(x-a)+x，x=4a，AE=3a，EF=BC-BE=7a19625或529；2013；【解析】图1中13个1，12个0；图2中12个0变为1共增加了12，所以A比图1中相同位置的1增加12，即13三、解答题每题都要写出推算过程21(本题满分10分)解：设一池水的水量为1，1、2号抽水机的抽水效率分别是、，同时开机至关闭用时为：(-)(-)=24分；而24分刚好2号抽水机可以注满B池所以B池水深12米22(本题满分15分)解：连接EF，AC，DF，设SABCD=a，E、F是AB与BC的中点，SAEF=a，SADF=a，EP：PD=a：a=SAEP=SADE=a，SEPF=SAEF-SAEP=a-a =a，AP：PF= SAEP：SEPF=a：a=2：3AQPC，SQPC= SAPC=SAFC=a，SAQC=SAQPSCDQ=SACD-(SAQC+SAQD)= SACD-(SAQP+SAQD)= SACD-SADP=a-a=aPQ：QD= SQPC：SCDQ=a：a=1：3，SAPQ=SAPD=aS四边形AQCP= SAPQ +SQPC=a+a =a，S四边形AQCP：SABCD= 23(本题满分15分)解： 滚动1下，B落在轴上2处，滚动2下，C落在轴上3处，滚动3下，A落在轴上4处；，滚动3次为一个变化周期，20133=671，而点C落在轴上时，对应的数字被3整除，所以2013与C重合 每滚动一个周期，A旋转240(个圆周)，A对应的数字除以3余1，所以最后一次落在轴上是2011处， 20113=6701，共滚动670个周期，从2011到2013，点A又转动了120A走过的路程是：21670+21=894 设此圆的半径为R，则2R=894，R=447第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试试题2013年4月14日 上午9：00至11：00竞赛结束时，只交答题卡，试卷可带走。答案于今日11：00在以下网站和微博公布：“希望杯”官方网站：“希望杯”微博：/xiwangbei数理天地官方网站：数理天地微博：/shulitiandi未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式(包括网络)转载。一、选择题(每小题4分，共40分)1在无理数、中，介于与之间的数有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2已知x+=6(0x1)，则-的值是( )(A)- (B)-2(C)(D)23有3个正整数a，b，c，并且abc，从中任取2个，有3种不同的取法，将每一种取法取出的2个数分别作和及作差，得到如下6个数：42，45，64，87，109，151，则a2+b2+c2的值是( )(A)12532(B)12533(C)12534(D)125354已知有理数a，b，x，y满足ax+by=3，ay-bx=5，那么(a2+b2)(x2+y2)的值是( )(A)225(B)75(C)54(D)345Among all the following points，which one is on the graph of function y=x2-2x-3?( )(A)(1，-3)(B)(0，3)(C)(-1，0)(D)(-2，1)6下列命题中，正确的是( )(A)如果三角形三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形(B)如果直角三角形的两条直角边的长分别是a和b，那么斜边的长是a2+b2(C)如果三角形三条边长的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形(D)如果直角三角形的两条直角边的长分别是a和b，斜边长是c，那么斜边上的高的长是7甲、乙、丙、丁4名跑步运动员的速度依次是v1，v2，v3，v4 ，且v1v2v3v40，他们沿直跑道进行追逐赛，规则如下：4人在同一起跑线上，同时同向出发；经过一段时间后，甲、乙、丙同时反向，谁先遇到丁谁就是冠军则( )(A)冠军是甲(B)冠军是乙(C)冠军是丙(D)甲、乙、丙同时遇到丁8已知直线y=kx+b(k0)与x轴的交点在x的正半轴上，则( )(A)k0，b0(B)k0，b0(C)kb0(D)kb09如图1，函数y1=k1x+b和y2=k2x的图象交于点(-1，-2)，则关于x的不等式k1x+bk2x的解集是( )(A)x-1(B)x-1(C)x-2(D)x-210设q=mn，p=+，其中m，n是两个连续的自然数(mn)则p( )(A)总是奇数(B)总是偶数(C)有时是奇数，有时是偶数(D)有时是有理数，有时是无理数二、填空题(每小题4分，共40分)11已知a=+2，b=-2，则a2+b2+7的平方根的值是 1260名学生参加英语测试，若优秀的学生占45%，则在统计图中，表示优秀的扇形的圆心角是 度；若表示良好的扇形的圆心角是120，则良好的学生有 人13若x1，x2都满足2x-1+2x+3=4，且x1x2，则x1-x2的取值范围是 14若直线y=2x+b与坐标轴围成的三角形的面积是4，则b= 15已知a，b都是有理数，若不等式(2a-b)x+3a-b0的解集是x，则不等式(a+3b)x+a-2b0的解集是 16如图2，点P在正方形ABCD内，PBC是正三角形，若BPD的面积是-1，则正方形ABCD的边长是 17直线y=x-1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在坐标轴上，ABC是等腰三角形，则满足条件的点C有 个18已知x2-x-1=0，则= 19如图3，矩形纸片ABCO平放在xOy坐标系中，将纸片沿对角线CA向左翻折，点B落在点D处，CD交x轴于点E若CE=5，直线AC的解析式为y=-x+m，则点D的坐标的坐标是 20已知正整数x，y满足，则x-y的最小值是 三、解答题每题都要写出推算过程21(本题满分10分)已知m2=n+2，n2=m+2(mn)，求m3-2mn+n3的值22(本题满分15分)As in Figure 4 ，both D=E=90 in trapezoid ABCDABC is an equilateral triangle with C on DEIf AD=7 and BE=11，find the area of ABC(英汉词典：trapezoid 梯形；equilateral 等边三角形；area 面积)23(本题满分15分)有n(n2)个整数a1a2a3an，它们满足下列条件：如果对于其中的任意一个整数am都有-am不在这n个整数中，则称这n个整数满足性质P；若在这n个整数中选两个不同的整数ai，aj，使它们成为一个有序整数对(ai，aj)，并恰好ai+aj也在这n个整数中，则这样的整数对为“和整数对”； 若在这n个整数中选两个不同的整数ai，aj，使它们成为一个有序整数对(ai，aj)，并恰好ai-aj也在这n个整数中，则这样的整数对为“差整数对”回答下列问题：3个整数-1，2，3是否满足性质P？如果满足性质P，请写出其中所有的“和整数对”和“差整数对”；若n(n2)个整数a1a2a3an满足性质P，其中“差整数对”有k个，试证明kn(n-1)；若n(n2)个整数a1a2a3an满足性质P，其中“和整数对”有l个，“差整数对”有k个，试证明l=k第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试答案与解析一、选择题(每小题4分，共40分)1选：D；【解析】=2与=32选：B；【解析】0x1，则-0，(-)2= x+-2=4，-=-23选：C；【解析】分析大小可得a+b最大，即a+b=151，a+c第二大，即a+c=109，而a-b和b-c都可能最小，由于a-b与a+b具有相同的奇偶性，所以a-b=45，可解得，a=98，b=53，c=114选：D；【解析】(ax+by)2=9，(ay-bx)2=25，两式相加得：a2x2+b2y2+ a2y2+b2x2=34，而(a2+b2)(x2+y2)= a2x2+b2y2+ a2y2+b2x25选：C； 6选：D；7选：C；【解析】同时反向跑的时候，从前向后依次是丙、乙、甲，而它们三人应该同时相遇于出发地所以在遇上丁时，丙还在前面8选：D；【解析】-0，kb0；9选：B；10选：A；【解析】p=+ =+= + = +=m+n，连续整数的和一定是奇数二、填空题(第小题4分，共40分)115； 12162，20；13-2x1-x20；【解析】x-+x+=2，x-+x+可以表示数轴上表示x的点与和-的两点距离的和而和-的距离是2，所以-x，所以，x-=-2，又因为x1x2，x1-x20，所以-2x1-x20144；【解析】与两轴的交点为(0，b)，(，0)，|b|-b |=4，b2=4，b=415x；【解析】由题意得，2a-b0，=，b=a，2a-a0，a0，(a+3b)x+a-2b0，ax-a0，x162；【解析】设正方形的边长为a，SBDP= SBCP+ SCDP-SBCD=a2+a2-a2=-1，a2=4，a=2177；181；【解析】x2= x+1， = = = 119(，-)；【解析】OC=m，OA=2m，AE=CE=5，由m2+(2m-5)2=52，得m=4，AD=OC=4，DE=EO=3，可得D(，-)203；【解析】xyx，当x=1时，y，y无整数解；当x=2时，1y1，y无整数解；当x=3时，1y1，y无整数解；当x=4时，2y2，y无整数解；当x=5时，2y3，y无整数解；当x=6时，3y3，y无整数解；当x=7时，3y4， y=4，x-y=3三、解答题每题都要写出推算过程21(本题满分10分)解： -=(m-n)(m+n)=n-m，mn，m+n=-1m3-2mn+n3=m(n+2)-2mn+n(m+2)=2m+2n=-222(本题满分15分) 解：作AFBE于F，DC=x，CE=yAB=AC=BC，根据勾股定理：x2+72=y2+112=(x+y)2+42 35-11得：35x2+48xy-11y2=0，(5y-x)(7y+11x)=0，x0，y0x=5y代入：得y2=3，y=，x=5，AB2=(6)2+42=124，SABC= AB2=3123(本题满分15分)解： -1，2，3的相反数分别是1，-2，-3，它们都不在这3个整数中，所以满足性质P其中“和整数对”为(-1，3)和(3，-1)；“差整数对”为(2，-1)和(2，3) 设am是这n个整数中的任意一个，(am，ap)是一个有序数对，其中pm，这样的数对共有n-1个所以，这n个数一共有n(n-1)个有序数对若(am，ap)是一个差整数对，则(ap，am)一定不是差整数对，否则不满足性质P所以，差整数对至多有 n (n-1)，即kn(n-1) 若任意am、an、ap是这n个整数中的三个，且满足am+an=ap，则(am，an)、(an，am)是两个和整数对记为一组，而(ap，am)、(ap，an)是对应的两个差整数对也记为一组，那么每一组和整数对都对应着一组差整数对，若和整数对有x组，l=2x，则差整数对也一定有x组，k=2x，所以l=k第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初三 第2试试题2013年4月14日 上午9：00至11：00竞赛结束时，只交答题卡，试卷可带走。答案于今日11：00在以下网站和微博公布：“希望杯”官方网站：“希望杯”微博：/xiwangbei数理天地官方网站：数理天地微博：/shulitiandi未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式(包括网络)转载。一、选择题(每小题4分，共40分)1如图1，矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边DC上，若AM平分DMB，则AMD的大小是( )(A)75(B)60(C)45(D)302化简，得到的结果是( )(A)2(B)-2(C)2(D)-23一个矩形被分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是( )4函数y=中，x的取值范围是( )(A)0以外的一切实数(B)0，-1以外的一切实数(C)1以外的一切实数(D)0，1以外的一切实数5若将写成小数，则十分位上的数字是( )(A)1(B)2(C)3(D)46代数式x-2+x+5( )(A)有最小值，没有最大值(B)有最大值，没有最小值(C)既有最小值，也有最大值(D)既没有最小值，也没有最大值7如图2，ABC中，AB=2，BC=4，CA=3，平行于BC的直线l过ABC的内心I，分别交边AB、AC于点D、E，则ADE的周长是( )(A)5(B)6(C)7(D)8 8若动点M(x，y)与点A(2)的距离M到直线y=的距离，则动点M的轨迹是( ) (A)双曲线(B)抛物线(C)双曲线的一支(D)一条直线9不等式a-0的解是( )(A)a0(B)a1或a-1(C)a1或-1a0(D)a0或a-110如图3，ABC中，AB=1，AC=2，ABC=90，若BD、EF、GH都垂直于AC，DE、FG、HI都垂直于BC，则阴影HIC的面积与ABC面积的比( )(A)()6(B)2()6(C)()6(D)()6二、填空题(每小题4分，共40分)11方程+=2的根是 12如果正n边形的一个外角是5，那么n= 13已知关于x的方程x2-4x-p2+2p+2=0的一个根为p，则p= 14平面直角坐标系内，一只跳蚤停在点(5，0)处，它要跳到点(6，0)处，它每一跳都是飞越5个长度单位，并且总是跳到整点(坐标都是整数的点)，也不从原路返回，那么当它跳到(6，0)时，至少跳了 次15将一个圆分成三个相同的扇形，将其中一个卷成圆锥，锥顶对锥底圆周上任意两点的最大张角的余弦值是 16将相同的平行四边形和相同的菱形镶嵌成如图4所示的图案设菱形中较小的内角为x度，平行四边形中较大的内角为y度，则y与x的关系式是 17ABC中，AC=3，BC=5，ACB=120，点M平分AB，则tanMCA= ，MC= 18方程组的正整数解(x，y，z)是 19ABC的三条高依次是AD=6，BE=4，CF=3，则cosC= ，ABC的面积是 20已知f(x)是一个多项式，若f(x)除以(x-1)，余5；f(x)除以(x+2)，余2，则f(x)除以(x-1)(x-2)，得到的余式是 三、解答题每题都要写出推算过程21(本题满分10分)已知二次函数y=mx2+6x+m+4的图象在直线y=-2的上方 求m的取值范围 当m=2时，求此二次函数的图象在x轴上截得的线段的长(考试时此问去掉)22(本题满分15分)一家商店销售某种计算器，开始按定价(小于200元的整数元)售出，后来按定价的六折售出，当售出200台时，共得款30498元，问：打折前，按定价售出了多少台？23(本题满分15分)设f(x)=将f(x)化成 (a，b是不同的整数)的形式；求f(x)的最大值及相应的x值第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初三第2试答案与解析一、选择题(每小题4分，共40分)1选：A；【解析】AB=BM，BMC=302选：A；【解析】72=()23选：A；【解析】y=S-x(0xS)4选：D；5选：B；【解析】1122=12544127001132=127696选：A；【解析】f(x)=x-2+x+5；当x-5时，f(x)=-2x-3，f(x)7，当-5x2时f(x)=7，当x2时，f(x)=2x+3，f(x)7，所以有最小值，没最大值7选：A；【解析】DI=DB，EI=EC，CADE=AB+AC8选：B；【解析】(x-2)2+(y-)2=(y-)2，整理得：y=-x2+4x-39选：B；【解析】由a-0得a-0，去分母：a2-10，a21，10选：A；【解析】设AD=a，则BD=a，DC=3a，SBCD=SABC，同理：SHIC=()6SABC二、填空题(第小题4分，共40分)11x1=；x2=1；【解析】+=2；=2-；3-2x=4+x-4；4=3x+1；16x=9x2+6x+1解出：x1=；x2=1；经检验都是原方程的根1272；【