2012年3月立体几何专训题.docx

立体几何特训题一、锥体问题 ADPEBC题(19)图例1、如题(19)图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB，点E是棱PB的中点() 求直线AD与平面PBC的距离；() 若AD，求二面角AECD的平面角的余弦值二、柱体问题例2、如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,（1） 求异面直线与所成角的余弦值；（2） 证明平面（3） 求二面角的正弦值。三、折叠问题例3、如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值；（）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。四、其它多面体例4、如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD （I）求异面直线BF与DE所成的角的大小； （）(II) 证明平面AMD平面CDE； （III）求二面角A-CD-E的余弦值。立体几何练习题FCPGEAB图5D1 如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，垂直底面，分别是上的点，且，过点作的平行线交于（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；（3）当时，求的面积2、已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是对角线的中点 （）求证：为异面直线和的公垂线； （）求二面角的大小； （）求三棱锥的体积3、如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为45，求二面角的大小4、如图5所示，在正方体，E是棱的中点。（）求直线BE的平面所成的角的正弦值；（II）在棱上是否存在一点F，使BF1平面A1BE？证明你的结论。5、如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆的直径。（）证明：平面平面；（）设。在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为。（）当点在圆周上运动时，求的最大值；（）记平面与平面所成的角为（090）。当取最大值时，求的值。6、如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ABCD，NB垂直于ABCD且MD=NB=1，E为BC的中点 （I）求异面直线NE与AM所成角的余弦值； （II）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？ 若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由 7、如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）证明：PQ平面DCQ；（II）求棱锥QABCD的的体积与棱锥PDCQ的体积的比值所以PQ平面DCQ. 6分8、如图，在平面内直线EF与线段AB相交于C点，BCF，且AC = CB = 4，将此平面沿直线EF折成的二面角EF，BP平面，点P为垂足. （） 求ACP的面积； （） 求异面直线AB与EF所成角的正切值. BAFCECBPAEF（第20题图）立体几何特训题一、锥体问题 ADPEBC题(19)图例1、如题(19)图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB，点E是棱PB的中点() 求直线AD与平面PBC的距离；() 若AD，求二面角AECD的平面角的余弦值解法一： （I）如答（19）图1，在矩形ABCD中，AD/BC，ADPEBC题(19)图从而AD/平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离. 因PA底面ABCD，故PAAB，由PA=AB知为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AEPB又在矩形ABCD中，BCAB，而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BCPB，从而BC平面PAB，故BCAE，从而AE平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离. 在中，PA=AB=，所以 （II）过点D作DFCE，交CE于F，过点F作FGCE，交AC于G，则为所求的二面角的平面角.由（I）知BC平面PAB，又AD/BC，得AD平面PAB，故ADAE，从而在中，为等边三角形，故F为CE的中点，且因为AE平面PBC，故AECE，又FGCE，知，从而且G点为AC的中点.连接DG，则在所以解法二： （I）如答（19）图2，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系Axyz. 设D（0，a，0），则 . 因此 则，所以AE平面PBC.又由AD/BC知AD/平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为 （II）因为设平面AEC的法向量又所以可取设平面DEC的法向量又故所以故所以二面角AECD的平面角的余弦值为二、柱体问题例2、如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,（1） 求异面直线与所成角的余弦值；（2） 证明平面（3） 求二面角的正弦值。方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,（1） 解：易得,于是 所以异面直线与所成角的余弦值为（2） 证明：已知,于是=0，=0.因此，,又所以平面(3)解：设平面的法向量，则,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。于是，从而所以二面角的正弦值为方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1DB1C，由,可知EFBC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故ACDE,又因为CC1DE且，所以DE平面ACF，从而AFDE.连接BF，同理可证B1C平面ABF,从而AFB1C,所以AFA1D因为，所以AF平面A1ED(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N,故为二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在连接A1C1,A1F 在。所以所以二面角A1-DE-F正弦值为三、折叠问题例3、如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值；（）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。（）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系A-xyz则（2，2，），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.设=（x,y,z）为平面的一个法向量， -2x+2y+2z=0所以 6x=0.取，则。又平面的一个法向量，故。所以二面角的余弦值为（）解：设则， 因为翻折后，与重合，所以， 故， ，得， 经检验，此时点在线段上，所以。方法二：（）解：取线段的中点,的中点,连结。 因为=及是的中点，所以又因为平面平面，所以平面,又平面,故，又因为、是、的中点，易知，所以，于是面，所以为二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值为。四、其它多面体例4、如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD （I）求异面直线BF与DE所成的角的大小； （）(II) 证明平面AMD平面CDE； （III）求二面角A-CD-E的余弦值。方法一：（I）解：由题设知，BF/CE，所以（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP、PC因为PE=AP，所以FA=EP。同理，AB=PC。又平面ABCD，所以平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内，故由，可得设则，故所以异面直线EF与DE所成的角的大小为60。 （）证明：因为DC=DE且M为CE的中点。所以，连结MP，则又故平面AMD，而平面CDE，所以平面平面CDE， （III）解：设Q为CD的中点，连结PQ、EQ因为CE=DE，所以因为PC=PD，所以，故为二面角ACDE的平面角，由（I）可得，于是在中，所以二面角ACDE的余弦值为方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得 （I）解：于是所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60。 （）证明：由，可得因此，又故平面AMD，而平面CDE，所以平面平面CDE （III）解：设平面CDE的法向量为，则于是令可得又由题设，平面ACD的一个法向量为所以，因为二面角ACDE为锐角，所以其余弦值为立体几何练习题答案1 FCPGEAB图5D如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，垂直底面，分别是上的点，且，过点作的平行线交于（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；（3）当时，求的面积FCPGEAB图5D解（1）在中，而PD垂直底面ABCD，,在中，,即为以为直角的直角三角形。设点到面的距离为,由有,即 ，;(2),而,即,，,是直角三角形；（3）时,即,的面积所以直线与平面所成角的正弦值为2、已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是对角线的中点 （）求证：为异面直线和的公垂线； （）求二面角的大小； （）求三棱锥的体积解：（）连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK。=因为点M是棱的中点，点O是的中点，=所以 OK=所以MO AK。（4分） （）取，从而，故二面角（9分） （）易知，（12分）解法二以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 （）因为点M是棱所以（4分） （）设平面即故二面角（9分） （）易知，即取点M到平面OBC的距离（12分）3、如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为45，求二面角的大小解法一 （I）连结A1B，记A1B与AB1的交点为F。因为面AA1B2B为正方形，故A1BAB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D 为BB2的中点，故DE/BF，DEAB1。3分作CGAB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点。又由底面ABC面AA2B1B，得CG面AA1B1B，连结DG，则DG/AB2，故DEDG，由三垂线定理，得DE。所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线。6分 （II）因为DG/AB1，故为异面直线AB1与CD的夹角，设AB=2，得作B2HA1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1面AA1C1C，故B1H面AA2C2C，又作HKAC1，K为垂足，连结B2K，由三垂线定理，得因此为二面角A1AC1B1的平面角。9分所以二面角12分解法二： （I）以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，设AB=2，则A（2，0，0），B1（0，2，0），D（0，1，0），又设C（1，0，c），则3分于是故，所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线。6分 （II）因为等于异面直线与CD的夹角。故,即解得又所以9分设平面AA1C1的法向量为则即令设平面AB2C2的法向量为则即令所以由于等于二面角A1AC1B1的平面角，所以二面角A1AC1B1的大小为12分4、如图5所示，在正方体，E是棱的中点。（）求直线BE的平面所成的角的正弦值；（II）在棱上是否存在一点F，使BF1平面A1BE？证明你的结论。解法1 设正方体的棱长为1，如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系. （I）依题意，得B（1，0，0），E（），A（0，0，0），D（0，1，0），所以在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE和平面ABB1A1所成的角为，则即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 （II）依题意，得设是平面A1BE的一个法向量，则由，得所以取设F是棱C1D上的点，则F（t，1，1）又所以D而平面A1BE，于是B1F/平面A1BE为C1D1的中点，这说明在棱C1D1上存在点F（C1D1的中点），使B1F/平面A1BE.解法2（I）如图（a）所示，取AA1的中点M，连结EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A2为正方形，所以EM/AD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，EBM为BE和平面ABB1A1所成的角.设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，于是，在中，即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 （II）在棱C1D上存在点F，使B1F/平面A1BE. 事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点为F，G，连结EG，BG，CD1，FG.因A1D1/B1C1/BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此，D1C/A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG/D1C，从而EG/A1B，这说明A1，B，G，E，共面，所以BG平面A1BE. 因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG/C1C/B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F/BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F/平面A1BE.5、如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆的直径。（）证明：平面平面；（）设。在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为。（）当点在圆周上运动时，求的最大值；（）记平面与平面所成的角为（090）。当取最大值时，求的值。解法一 ：（I）平面，平面， 是圆O的直径， 又， 平面而平面，所以平面平面。（II）（i）设圆柱的底面半径为r，则 故三棱柱的体积 又 当且仅当时等号成立。从而，而圆柱的体积，故，当且仅当，即时等号成立。所以，的最大值等于（ii）由（i）可知，取最大值时，于是，以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则，平面，是平面的一个法向量设平面的法向量，由得。故。取，得平面的一个法向量为， 解法二：（I）同解法一（II）（i）设圆柱的底面半径为，则， 故三棱柱的体积 设， 则， 由于，当且仅当即时等号成立，故 而圆柱的体积， 故，当且仅当即时等号成立。 所以，的最大值等于 （ii）同解法一解法三：（I）同解法一（II）（i）设圆柱的底面半径，则，故圆柱的体积 因为，所以当取得最大值时，取得最大值。 又因为点C在圆周上运动，所以当时，的面积最大。进而，三棱柱的体积最大，且其最大值为 故的最大值等于（ii）同解法一6、如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ABCD，NB垂直于ABCD且MD=NB=1，E为BC的中点 （I）求异面直线NE与AM所成角的余弦值； （II）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？ 若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由 解：（I）如图，以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系 依题意，易得D（0，0，0）、A（1，0，0）、M（0，0，1）、C（0，1，0）B（1，1，0），N（1，1，1），E（） 所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为 （II）假设在线段AN上存在点S，使得平面AMN.，又由ES故经检验，当故线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，此时7、如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）证明：PQ平面DCQ；（II）求棱锥QABCD的的体积与棱锥PDCQ的体积的比值解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQQD所以PQ平面DCQ. 6分 （II）设AB=a.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积由（I）知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQ=，DCQ的面积为，所以棱锥PDCQ的体积为故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.12分8、如图，在平面内直线EF与线段AB相交于C点，BCF，且AC = CB = 4，将