第25讲：高频考点分析之直线与圆探讨.doc

【备战2013高考数学专题讲座】第25讲：高频考点分析之直线与圆探讨12讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，38讲，对数学思想方法进行了探讨，912讲对数学解题方法进行了探讨，第13讲第28讲我们对高频考点进行探讨。结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下三方面探讨直线与圆问题的求解：1. 直线的方程和性质；2. 圆的方程和性质；3. 直线与圆的综合问题。一、直线的方程和性质：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1. （2012年北京市文5分）某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为【 】A.5 B.7 C.9 D.11【答案】C。【考点】直线斜率的几何意义。【解析】据图像识别看出变化趋势，利用变化速度可以用导数来解，但图像不连续，所以只能是广义上的。实际上，前n年的年平均产量就是前n年的总产量S与n的商：，在图象上体现为这一点有纵坐标与横坐标之比。 因此，要使前m年的年平均产量最高就是要这一点的纵坐标与横坐标之比最大，即这一点与坐标原点连线的倾斜角最大。图中可见。当n=9时，倾斜角最大。从而m值为9。故选C。二、圆的方程和性质：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1. （2012年山东省文5分）圆与圆的位置关系为【 】 A 内切B 相交C 外切D 相离【答案】B。【考点】两圆位置关系的判定。【解析】两圆圆心分别为（2，0），（2，1），两圆圆心距为。 又两圆半径分别为2，3，两圆半径之差为1，半径之和为5。 ，即两圆圆心距在两圆半径差与半径和之间， 两圆相交。故选B。三、直线与圆的综合问题：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1. （2012年重庆市理5分）对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是【 】A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心【答案】C。【考点】直线与圆的位置关系，曲线上 的坐标与方程的关系。【分析】从直线与圆的位置关系入手，因为直线过定点A（0，1），而点A在圆的内部，故直线与圆相交。将圆心（0，0）代入，左右不相等，所以圆心（0，0）不在直线上。故选C。 别解：将代入得。根的判别式，有两不相等的实数根，即与的图象有两交点。同上判别圆心在不在直线上。还可求圆心到直线的距离来判别。例2. （2012年安徽省文5分）若直线与圆有公共点，则实数取值范围是【 】 【答案】。【考点】圆与直线的位置关系，点到直线的距离公式，解绝对值不等式。【解析】设圆的圆心到直线的距离为，则根据圆与直线的位置关系，得。由点到直线的距离公式，得，解得。故选。 例3. （2012年陕西省理5分） 已知圆，过点的直线，则【 】A.与相交 B. 与相切 C.与相离 D. 以上三个选项均有可能【答案】A。【考点】直线与圆的位置关系。【解析】，点在圆C内部。故选A。例4. （2012年广东省文5分）在平面直角坐标系中，直线与圆相交于、两点，则弦的长等于 【 】 A B C D 【答案】B。【考点】直线与圆相交的性质。【解析】由直线与圆相交的性质可知，要求，只要求解圆心到直线的距离即可：由题意可得，圆心（0，0）到直线的距离 ，则由圆的性质可得，即，解得。故选B。例5. （2012年湖北省文5分）过点的直线，将圆形区域分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为21【】世纪教育网A. B. C. D. 【答案】A。【考点】分析法的应用，垂径定理，两直线垂直的性质，由点斜式求直线方程。【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线垂直即可。又已知点，则。故所求直线的斜率为-1。又所求直线过点，故由点斜式得，所求直线的方程为，即。故选A。例6. （2012年福建省文5分）直线xy20与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长度等于【 】A2 B2 C. D1【答案】B。【考点】直线与圆的位置关系。【解析】根据圆的方程知，圆的圆心为(0,0)，半径R2，弦心距d1，所以弦长AB22。故选B。例7.（2012年辽宁省文5分）将圆平分的直线是【 】（A） （B） （C） （D）【答案】C。【考点】直线和圆的方程，曲线上点的坐标与方程的关系。【解析】， 圆的圆心坐标为（1，2）。将圆平分的直线必经过圆心，逐一检验，得过（1，2）。故选C。例8. （2012年重庆市文5分）设A，B为直线与圆 的两个交点，则【 】（A）1 （B） （C） （D）2【答案】D。【考点】直线与圆相交的性质。【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线上，得到AB为圆的直径，根据直径等于半径的2倍，可得出|AB|的长：由圆，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1。圆心（0，0）在直线上，弦AB为圆O的直径。|AB|=2r=2。故选D。例9.（2012年陕西省文5分）已知圆，过点的直线，则【 】A.与相交 B. 与相切 C.与相离 D. 以上三个选项均有可能【答案】A。【考点】直线与圆的位置关系。【解析】，点在圆C内部。故选A。例10. （2012年天津市理5分）如图，已知和是圆的两条弦。过点作圆的切线与的延长线相交于点，过点作的平行线与圆相交于点，与相交于点，则线段的长为 .【答案】。【考点】直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质。【分析】，由相交弦定理得，。又，=。设，则，再由切割线定理得，即，解得，故。例11. （2012年北京市文5分）直线被圆截得的弦长为 。【答案】。【考点】直线和圆的性质，解直角三角形。【解析】利用直角三角形解题： 如图所示，半弦长，圆心（0，2）到直线的距离，圆的半径构成一个等腰直角三角形。 ，。 弦长为。例12. （2012年天津市文5分）设,若直线与轴相交于点，与y轴相交于，且与圆相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则面积的最小值为 【答案】3。【考点】直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，基本不等式的应用。【分析】直线与两坐标轴的交点坐标为，直线与圆相交所得的弦长为2，又圆心到直线的距离满足，即圆心到直线的距离。三角形的面积为。又，当且仅当时取等号，面积的最小值为。例13. （2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 【答案】。【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离。【解析】圆C的方程可化为：，圆C的圆心为，半径为1。由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点；存在，使得成立，即。即为点到直线的距离，解得。的最大值是。例14.（2012年江西省文5分）过直线上点作圆的两条切