北师大版必修五 3.2 　 一元二次不等式 学案.doc

第1课时一元二次不等式的解法核心必知1一元二次不等式(1)定义：形如 ax2bxc0(0)或ax2bxc0(ab0)可看作一元二次不等式吗？提示：可以，把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式2一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？提示：一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集就是一元二次函数yax2bxc(a0)的图像在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2bxc0)的解集就是一元二次函数yax2bxc(a0)的图像在x轴下方的点的横坐标x的集合讲一讲1解不等式：2x27x40.提示先求相应方程的根，再写出不等式的解集尝试解答因为724240，所以方程2x27x40有两个实数根x1，x2.二次函数y2x27x4的图像如图所示所以不等式的解集为x|x或x解一元二次不等式的步骤：(1)确定对应的二次方程的解(2)画出对应的二次函数的图像简图(3)由图像写出不等式的解集练一练1多维思考将例1中，二次项系数改为“2”，其它不变，解不等式解：不等式变形为2x27x40，因为(7)242(4)81，所以方程2x27x40有两个实数根x1，x24.二次函数y2x27x4的图像如图所示不等式的解集为x|x4讲一讲2已知关于x的不等式x2axb0的解集为x|1x0的解集提示由不等式的解集得到相应方程的根，再由根与系数的关系求解尝试解答x2axb0的解集为x|1x0.由2x23x10(2x1)(x1)0x1.bx2ax10的解集为(1，)已知一元二次方程的根，可以写出相应不等式的解集，反之，已知不等式的解集也可以写出相应二次方程的根，进一步可求得方程中的系数或得到系数之间的关系练一练2若不等式ax2bxc0的解集是，求不等式cx2bxa0的解集解：法一：由ax2bxc0的解集为知a0.又20.又，2为方程ax2bxc0的两个根，.又，ba，ca.不等式变为x2xa0.又a0，2x25x30，所求不等式的解集为.法二：由已知得a0，设方程cx2bxa0的两根分别为x1，x2，则x1x2，x1x2，其中，x13，x2，不等式cx2bxa0)的解集为.讲一讲3已知方程x22mxm120的两实数根都大于2，求实数m的取值范围提示思路一：由根与系数的关系求解；思路二：结合二次函数的图像，列出不等式求解尝试解答法一：设方程x22mxm120的两实数根为x1，x2，由题意知：即解得所以m4.法二：设函数f(x)x22mxm12，则即所以m4.与一元二次方程的根有关的问题可以转化为二次函数图像与x轴的位置关系进行解决主要考虑判别式的符号、对称轴的位置和端点处的函数值，当然要注意条件的等价转化练一练3m为何值时，关于x的方程8x2(m1)xm70的两实数根均在区间(0,1)内？解：令f(x)8x2(m1)xm7，由题意得即解得7x.错解由x2x两边同时约去x，得x1，所以原不等式的解集为x|x1错因本题因不等式两边同时约去x时，未考虑x的取值(正负性)，机械应用不等式性质而出现失解现象，因此导致求解错误应将一元二次不等式化成标准形式，再由方程的根得出解集正解法一：原不等式可化为x2x0，即x(x1)0.方程x(x1)0的两根为x10，x21，不等式x2x0的解集为x|x1法二：原不等式可化为x(x1)0，即或解得x1或x0，原不等式的解集为x|x11下列不等式中一元二次不等式的个数为()(m1)x2xx25x60(xa)(xa1)2a1b2c3 d4解析：选c由一元二次不等式的定义可知，为一元二次不等式2在下列不等式中，解集是的是()a2x23x20 bx24x40c44xx20解析：选d不等式23x2x20可化为2x23x20.因为(3)242270，不等式2x23x20的解集为.3函数ylog2(3x2x2)的定义域为()ar bcx|x1 dx|x0，即(3x2)(x1)0.x1或x.4(广东高考)不等式x2x20的解集为_解析：令f(x)x2x2(x2)(x1)，画出函数图像可知，当2x1时，f(x)0，从而不等式x2x20的解集为x|2x1答案：x|2x0，则ua等于_解析：易知ax|x2，或x0，故uax|0x2答案：x|0x26若不等式x2axb0的解集为x|2x0的解集解：不等式x2axb0的解集为x|2x0，即为5x26x10，又方程5x26x10的两个根为x11，x2，不等式ax2bx10的解集为x|x1一、选择题1不等式2x2x10的解集是()a.b(1，)c(，1)(2，) d.(1，)解析：选d由一元二次不等式的解法易得x1或x.2(宿豫检测)不等式x23 bx|x3cr dx|0x3解析：选d不等式变形为x23x0，易得0x3.3不等式9x26x10的解集是()a. b.c d.解析：选d0，则方程9x26x10的根为x1x2，所以原不等式的解集为.4函数y 的定义域为()ax|x0 bx|x1cx|x10 dx|0x1解析：选c解不等式组得x1或x0.二、填空题5不等式x22x3a22a1的解集为，则实数a的取值范围是_解析：x22x(a22a4)0的解集为，44(a22a4)0，a22a30.1a3.答案：(1,3)6若关于x的不等式ax26xa21，则不等式(xa)0的解集为_解析：方程(xa)(x)0的两根为x1a，x2，又a1时，a，不等式(xa)(x)0的解集为x|xa，或xa，或x8(福州师大附中检测)若2x21x2，则函数y2x的值域是_解析：2x21()x222x4，x212x4，即x22x30.解得3x1，y2，函数y2x的值域是，2答案：，2三、解答题9已知方程x2(2m3)xm2150的两个根一个大于2，一个小于2，求实数m的取值范围解：设函数f(x)x2(2m3)xm215，则由题意：即解得1m4的解集为x|xb(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2(acb)xbc4即ax23x20的解集为x|xb，所以x11与x2b是方程ax23x20的两个实数根，且b1，a0.由根与系数的关系，得解得(2)由(1)知不等式ax2(acb)xbc0可化为x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|2xc；当c2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|cx2；当c2时，不等式(x2)(xc)0的解集为.第2课时含参数的一元二次不等式的解法讲一讲1解关于x的不等式ax2(a1)x10(ar)提示a0时化为一次不等式；a0时化为二次不等式分别求解尝试解答(1)当a0时，原不等式化为：x10x1.(2)当a0时，原不等式化为a(x)(x1)0时，原不等式等价于(x)(x1)0x1.当a0.1。当a1，即1时，的解为x1.2。当a1，即1时，的解为x1.3。当1a1时，的解为x.综上所述：不等式的解集是：当a0时，x|x0时，x|x1；当a1时，x|x1；当a1时，xr|x1；当1a0时，x|x对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏一般方法是：(1)当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行讨论(2)判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论(3)判别式大于零时，还需要讨论两根的大小练一练1解关于x的不等式x2(aa2)xa30(ar)解：原不等式可化为(xa)(xa2)0.当a0时，aa2，解集为x|xa2；当a0时，a2a，解集为x|x0；当0a1时，a2a，解集为x|xa当a1时，a2a，解集为x|x1当a1时，aa2，解集为x|xa2综上所述，当a1时，解集为x|xa2；当0a1时，解集为x|xa；当a0时，解集为x|x0；当a1时，解集为x|x1讲一讲2当a为何值时，不等式(a21)x2(a1)x10的解是全体实数提示可结合相应函数的图像，数形结合建立关于a的不等式求解尝试解答(1)当a210时，a1.若a1，不等式化为10恒成立若a1，不等式化为2x10解集不为r.(2)当a210时，必须满足即解得a1.综合以上得当0的解集是实数集r(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；当a0时，2不等式ax2bxc0的解集是实数集r(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0在r上恒成立，求实数a的取值范围解：当a0时，不等式2x20的解集为x|x1，不满足题意当a0时，若不等式的解集为r，只需解得a.综上，所求实数a的取值范围是(，)解不等式x(mx1)0.错解当m0时，不等式化为x0，得x0，则0，得x；若m，得x0，m0时解集为(，0)；m0时解集为(，0)；m0时解集为(0，)错因m0得x0，则0，得x；若m，得x0时解集为(，0)；m0时解集为.1当a0时，不等式42x2axa20的解集为()a. b.c. d解析：选a不等式化为(6xa)(7xa)0，a，故选a.2不等式x(xa1)a的解集是x|xa其中a1，则()aa1 ba1 dar解析：选cx(xa1)a(x1)(xa)0.解集是x|xa，a1.3(重庆高考)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()a. b. c. d. 解析：选a由条件知x1，x2为方程x22ax8a20的两根，则x1x22a，x1x28a2，故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152，得a，故选a.4(福建高考)已知关于x的不等式x2ax2a0在r上恒成立，则实数a的取值范围是_解析：由题意得a28a0，解得a(0,8)答案：(0,8)5不等式x2(ab)xab0(ab)的解集是_解析：x2(ab)xab0(xa)(xb)0.ab，原不等式的解集为x|bxa答案：x|bx0m.即m(，0)(0，)时，方程mx2(2m1)xm0有两个不相等的实数解一、选择题1(潮州调研)若集合ax|ax2ax10，则实数a的值的集合是()aa|0a4 ba|0a4ca|00时相应二次方程中a24a0得a|0a4，综上得a|0a42在r上定义运算：xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1对任意实数x恒成立，则()a1a1 b0a2ca da解析：选c根据题意，不等式(xa)(xa)1可变形为(xa)(1xa)0.要使x2xa2a10恒成立，则(1)24(a2a1)0，即4a24a30，a.3(兰州一中检测)若0t1，则不等式(x1)0的解集是()a. b.c. d.解析：选d方程(x1)(x)0的两个根为1，.又0t1.原不等式的解集为x|1x0，bx|x2axb0若abr，ab(3,4，则ab等于()a7 b1 c1 d7解析：选da(，1)(3，)abr，ab(3,4，b1,4a(14)3，b144.ab7.二、填空题5若0t1，则不等式(xt)0的解集为_解析：0t1，所以(xt)0的解集为.答案：6当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_解析：构造函数f(x)x2mx4，x1,2，则f(x)在1,2上的最大值为f(1)或f(2)由于当x(1,2)时，不等式x2mx40的解集为r，则a的范围是_解析：若a0则x20即x2，不合题意若a0，则a.综上，a.答案：(，)8若函数f(x) 的定义域为r，则a的取值范围是_解析：根据题意得2x22axa10的解集为r，即x22axa0恒成立(2a)24(a)0.a2a0.1a0.答案：1,0三、解答题9已知不等式x2m(x21)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围解：原不等式可化为mx2xm20，当m0时，此不等式为x20，对任意实数不恒成立当m0时，mx2xm20，对任意x恒成立等价于1m1.综合知m的取值范围为(1，1)10关于x的不等式ax2(a1)x10的解集中的整数恰有3个，求a的取值范围解：原不等式等价于(ax1)(x1)0，分类讨论：(1)当a0时，不等式的解集为(1，)整数不止3个；(2)当a0时，方程(ax1)(x1)0的两根为和1，1.当0a1时，不等式的解集为(1，)，当45时满足条件，得a1时，不等式的解集为(，1)显然不满足题意当a0.解：原不等式移项得ax2(a2)x20，化简为(x1)(ax2)0.a0，(x1)0.当2a0时，x1；当a2时，x1；当a2时，1x.综上所述，当2a0时，解集为；当a2时，解集为；当a0(axb)(cxd)00(axb)(cxd)0的步骤(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积；(3)将每一个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集问题思考0的同解不等式是什么？提示：0(axb)(cxd)0或axb0.讲一讲1解下列不等式：(1)0；(2)2.提示先化分式不等式为整式不等式，后求解尝试解答(1)由0，此不等式等价于(x3)(x1)0，原不等式的解集为x|x1(2)法一：移项得20，左边通分并化简，得0，即0，此不等式等价于x2或x5.原不等式的解集为x|x2，或x5法二：原不等式可化为0，此不等式等价于或解得x5，解得x2，原不等式的解集为x|x0；(2)3.解：(1)0(2x1)(3x1)0x，不等式的解集为x|x，或x(2)330，00x2，故不等式的解集为x|x0；(2)x.解：(1)将方程x(x1)2(x3)0的根0，1,3标在数轴上，并用穿针引线法依次通过每一个根如图所示所以，原不等式的解集为x|x1，或1x3(2)原不等式0将方程x(x1)(x1)0的根1,0,1标在数轴上，并用穿针引线法依次通过每一个根如图所示所以，原不等式的解集为x|x1，或00，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 m/h.解不等式应用题，一般可按以下四步进行：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回扣实际问题练一练3某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p元/件之间的关系为p1602x，生产x件所需成本为c50030x元，假设所产风衣能够全部销出，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1 300元？解：设日产量为x件，日获利为y元，则y(1602x)x(50030x)2x2130x500，2x2130x5001 300.解得20x45，该日产量为x20,45件时，日获利不少于1 300元(湖南师大附中月考)若关于x的不等式axb0的解集为(1，)，则关于x的不等式0的解集为()a(1,2)b(，1)(2，)c(1,2) d(，2)(1，)巧思由axb0的解集为(1，)可得ab，代入不等式0可求解妙解axb0的解集为(1，)，ab且a0.则不等式0，可化为0，解得x2.答案b1不等式0的解集是()a(，1)(1,2b1,2c(，1)2，) d(1,2解析：选d此不等式等价于11答案：x|x0，或x15(江西高考)不等式0的解集是_解析：由0，得(x3)(x3)(x2)0，利用数轴标根法易得3x3.答案：x|3x36.某单位在对一个长为800 m、宽为600 m的草坪进行绿化时，是这样设想的：中间为矩形绿草坪，四周为等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围解：设花坛宽度为x m，则草坪的长为(8002x) m，宽为(6002x) m，(0x300)根据题意得(8002x)(6002x)800600，整理得x2700x60 0000，解不等式得x600(舍去)或x100，因此0x100.故当花坛的宽度在(0,100之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一一、选择题1若不等式(x2a)(x1)(x3)0的解集为(，1)(3,4)则a的值为()a4 b2c4 d2解析：选d当2a4时，用穿针引线法易知不等式的解集满足题意，a2.2不等式0的解集为()ax|0x2 012bx|0x2 012cx|x0，或2 011x2 012dx|x0，或2 011x2 012解析：选a原不等式等价于如图所示用穿针引线法，求得原不等式的解集为x|0x2 0123不等式0的解集为()ax|1x2或2x3bx|1x3cx|2x3dx|1x3解析：选a原不等式等价于解得1x0，即x210x0，得0x10.售价应在(90,100)范围之内二、填空题5(上冈检测)不等式1的解集为_解析：11002x1.所以原不等式的解