物理奥赛例题及答案—对称法.doc

练习题五:对称法A1、一半径为R入党半圆均匀薄片质心的位置？求一厚度和密度都均匀的扇形薄片，其半径为R，顶角为2A，求质心？ A2、如图76所示，长为l的两块相同的均匀长方形砖块A和B叠放在一起，A砖相对于B砖伸出，B砖放在水平桌面上，砖的端面与桌面平行。 为保持两砖不翻倒，B砖伸出桌面的最大长度是多少？解析：此题可用力矩平衡求解，但用对称法求解，会直观简洁。把A砖右端伸出B端的截去，补在B砖的右端，则变成图76甲所示的对称形状。 伸出最多时对称轴应恰好通过桌边。所以：lx = x +解得B砖右端伸出桌面的最大长度为：x =1A3、如图711所示，三根等长的细绝缘棒连接成等边三角形，A点为三角形的内心，B点与三角形共面且与A相对ac棒对称，三棒带有均匀分布的电荷，此时测得A 、B两点的电势各为UA 、UB ，现将ac棒取走，而ab 、bc棒的电荷分布不变，求这时A 、B两点的电势、。解析：ab 、bc 、ac三根棒中的电荷对称分布，各自对A点电势的贡献相同，ac棒对B点电势的贡献和对A点电势的贡献相同，而ab、bc棒对B点电势的贡献也相同。设ab 、bc 、ac棒各自在A点的电势为U1 ，ab 、bc棒在B点的电势为U2 。由对称性知，ac棒在B点的电势为U1 。由电势叠加原理得：3U1 = UA U1+ 2U2 = UB 由、两式得：U1 =，U2 =将ac棒取走后，A 、B两点的电势分别为：= UAU1 =UA= UBU2 =+A4、电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面的半径为R ，CD为通过半球顶点C与球心O的轴线，如图所示，P 、Q为CD轴线上在O点两侧，离O点距离相等的两点，已知P点的电势为UP ，试求Q点的电势UQ 。解析：可以设想一个均匀带电、带电量也是q的右半球，与题中所给的左半球组成一个完整的均匀带电球面，根据对称性来解。由对称性可知，右半球在P点的电势等于左半球在Q点的电势UQ 。即：= UQ所以有：UP + UQ = UP + PDCQOBA而UP +正是两个半球在P点的电势，因为球面均匀带电，所以UP += K由此解得Q点的电势：UQ =UP 。A5、一无限长均匀带电细线弯成如图78所示的平面图形，其中AB是半径为R的半圆弧，AA平行于BB，试求圆心O处的电场强度。解析：如图78甲所示，左上1/4圆弧内的线元L1与右下直线上的线元L3具有角元对称关系。L1电荷与L3电荷在O点的场强E1与E3方向相反，若它们的大小也相等，则左上与右下线元电场强度成对抵消，可得圆心处场强为零。设电荷线密度为常量 ，因很小，L1电荷与L3电荷可看做点电荷，其带电量：q1 = R ，q2 = L3当很小时，有：q2 =又因为E1 = K，E2 = K= K= K，与E1的大小相同，且E1与E2方向相反。所以圆心O处的电场强度为零。A6、如图715所示，两块竖直放置的平行金属板A 、B之间距离为d ，两板间电压为U ，在两板间放一半径为R的金属球壳，球心到两板的距离相等，C点为球壳上的一点，位置在垂直于两板的球直径的靠A板的一端，试求A板与点C间的电压大小为多少？解析：将金属球壳放在电场中达到静电平衡后，球壳为等势体，两极板之间的电场由原来的匀强电场变为如图715甲所示的电场，这时C与A板间电势差就不能用公式UAC = EdAC来计算。我们利用电场的对称性求解。由于电场线和金属球关于球心O对称，所以A板与金属板的电势差UAO和金属球与B板的电势差UOB相等，即：UAO = UOB又A 、B两板电势差保持不变为U ，即：UAO + UOB = U由以上两式解得：UAO = UOB =所以得A 、C两点间电势差：UAC = UAO =AB1、沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A ，抛出点离水平地面的高度为h ，距离墙壁的水平距离为s ，小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s ，如图71所示。求小球抛出时的初速度。解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞， 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性， 碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称，如图71甲所示，所以小球的运动可以转换为平抛运动处理， 效果上相当于小球从A点水平抛出所做的运动。根据平抛运动的规律：因为抛出点到落地点的距离为3s ，抛出点的高度为h ，代入后可解得：v0 = x= 3sv0m123B2、如图所示，完全相同的三块木块并排固定在水平面上，一颗子弹以速度v水平射入，若子弹在木块中做匀减速运动，且穿过第三块木块后速度恰好为零，则子弹依次射入每块木块时的速度之比和穿过每块木块的时间之比。解：子弹匀减速穿过三木块，末速度为零，我们假设子弹从右向左作初速度为零的匀加速直线运动 则：子弹依次穿过321三木块所用时间之比：t3：t2：t1=1：（ 2 1）：（ 3 2 ） 得：子弹依次穿过123三木块所用时间之比：t1：t2：t3=（ 3 2 ）：（ 2 1）：1 设子弹穿过第三木块所用时间为1秒，则穿过3，2两木块时间为：t3+t2= 2 秒，穿过3，2，1三木块时间为：t3+t2+t1= 3 秒 则：子弹依次穿过3，2，1三木块时速度之比为：1： 2 ： 3 所以，子弹依次穿过1，2，3三木块时速度之比为： 3 ： 2 ：1 故答案为： 3 ： 2 ：1；( 3 2 )：( 2 1)：1B3、（1）竖直上抛运动与自由落体运动的等价性； （2）弹簧振子伸长与压缩运动过程的等价性； （3）光线传播过程的可逆性。B4、如图713所示，在水平方向的匀强电场中，用长为l的绝缘细线，拴住质量为m 、带电量为q的小球，线的上端O固定，开始时将线和球拉成水平，松开后，小球由静止开始向下摆动，当摆过60角时，速度又变为零。求：（1）A、B两点的电势差UAB多大？（2）电场强度多大？解析：（1）小球在A 、B间摆动，根据能量守恒定律有：PA = PB取A点为零势能的参考点，即PB = 0则：EPB =mglsin60+ qUBA = 0所以：UBA =，UAB =（2）小球在平衡位置的受力如图713甲。根据共点力的平衡条件：有：qE = mgtan60解得电场强度：E =B5、A 、B 、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交于三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可。由题意作图73 ，设顶点到中心的距离为s ，则由已知条件得：s =a由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为：v= vcos30=v由此可知三角形收缩到中心的时间为：t =（此题也可以用递推法求解，读者可自己试解。）C1、（1）如图725所示的四面体框架由电阻同为R的6根电阻丝联结而成，求任意两个顶点A、B间的等效电阻RAB （2）6个相同的电阻R构成一个如图所示的电阻网络，求AB间和AD间的等效电阻。ADCBOABCD C2、电路如图10所示，已知各电阻阻值均为R，求RAC、RAB、RAO各为多少欧？C3、（1）电路如图721所示，每两个节点间电阻的阻值为R，求A、B间总电阻RAB.答案： RAB=2R（2）在如图8所示的网格形网络中，每一小段电阻均为R，试求A、B之间的等效电阻RAB。图8 图9图10 图11分析:由于网络具有相对于过A、B对角线的对称性，可以折叠成如图9所示的等效网络。而后根据等电势点之间可以拆开也可以合并的思想简化电路即可。解法(a)：简化为如图9所示的网络以后，将3、O两个等势点短接，在去掉斜角部位不起作用的两段电阻，使之等效变换为如图10所示的简单网络。最后不难算得RAO=ROB=5R/14RAB= RAO+ROB=5R/7解法(b)：简化为如图所示的网络以后，将图中的O点上下断开，如图11所示，最后不难算得RAB=5R/7C4、有7个电阻同为R的网络如图17所示，试求A、B间的等效电阻RAB。图17 图18解：将Y网络O-ABC变换成网络如图18所示其中 RAB=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rc=5RRBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Ra=5R/2RCA=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rb=5R这样就是一个简单电路了，很容易算得RAB=7R/5C5、如图6所示的立方体型电路，每条边的电阻都是R。求A、G之间的电阻是多少？分析: 假设在A 、G两点之间加上电压时，显然由于对称性D、B、E 的电势是相等的，C、F、H的电势也是相等的，把这些点各自连起来，原电路就变成了如图7所示的简单电路。解:由简化电路，根据串、并联规律解得RAG=5R/6（同学们想一想，若求A、F或A、E之间的电阻又应当如何简化？）AC6、限平面导体网络，它有大小相同的正六边型网眼组成，如图28所示。所有正六边型每边的电阻均为R0，求间位结点a、b间的电阻。分析：假设有电流I自a电流入，向四面八方流到无穷远处，那么必有I/3 电流由a流向c，有 I/6电流由c流向b.再假设有电流I由四面八方汇集b点流出，那么必有I/6电流由f流向 c, 有I/3电流由c流向b.解：将以上两种情况结合，由电流叠加原理可知Iac=I/3+I/6=I/2(由a流向c)Icb=I/3+I/6=I/2(由c流向b)因此ab之间的等效电阻为Rab=Uab/I=(IacR0+IcbR0)/I=R0 C7、（1）图27所示是一个无穷方格电阻丝网络的一部分，其中每一小段电阻丝的阻值都是R求相邻的两个结点A、B之间的等效电阻。分析：假设电流I从A点流入，向四面八方流到无穷远处，根据对称性，有I/4电流由A点流到B点。假设电流I经过无限长时间稳定后再由四面八方汇集到 B点后流出，根据对称性，同样有I/4电流经A点流到B点。图27解:从以上分析看出，AB段的电流便由两个I/4叠加而成，为I/2因此 UAB=(I/2)*rA、B之间的等效电阻RAB=UAB/I=r/2（2）如图718所示是一个由电阻丝构成的平面正方形无穷网络，当各小段电阻丝的电阻均为R时，A、B两点之间的等效电阻为R/2，今将A，B之间的一小段电阻丝换成电阻为R的另一端电阻丝，试问调换后A，B之间的等效电阻是多少？练习题一：整体法的补充：一根质量为M