直线、平面垂直的判定与性质.docx

1直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面内的_直线都垂直，则直线l与平面垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线_ab2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和_所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角若一条直线垂直于平面，它们所成的角是_，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是_的角(2)范围：0，3平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于_的直线与另一个平面垂直l【知识拓展】重要结论：(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)直线a，b，则ab.()(4)若，aa.()(5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()1(教材改编)下列命题中不正确的是()A如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面B如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么l2设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3(2017宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：若ABAC，BDCD，则BCAD；若ABCD，ACBD，则BCAD；若ABAC，BDCD，则BCAD；若ABCD，ACBD，则BCAD.其中为真命题的是()A B C D4(2016济南模拟)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，G为MC的中点则下列结论中不正确的是()AMCANBGB平面AMNC平面CMN平面AMND平面DCM平面ABN5(教材改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心题型一直线与平面垂直的判定与性质例1(2016全国甲卷改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置OD.证明：DH平面ABCD.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(2015江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点(1)求证：CE平面PAD；(2)求证：平面EFG平面EMN.引申探究1在本例条件下，证明：平面EMN平面PAC.2在本例条件下，证明：平面EFG平面PAC.思维升华(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直(2016江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.题型三垂直关系中的探索性问题例3如图，在三棱台ABCDEF中，CF平面DEF，ABBC.(1)设平面ACE平面DEFa，求证：DFa；(2)若EFCF2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由思维升华同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明(2016北京东城区模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，M为棱AC的中点ABBC，AC2，AA1.(1)求证：B1C平面A1BM；(2)求证：AC1平面A1BM；(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由17立体几何证明问题中的转化思想典例(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点求证：(1)AN平面A1MK；(2)平面A1B1C平面A1MK.思想方法指导(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范规范解答：提醒：完成作业第八章8.5答案精析基础知识自主学习知识梳理1(1)任意一条(2)相交a，babOlalb平行ab2(1)它在平面上的射影直角03(1)两个半平面垂直于棱(2)直二面角(3)垂线交线思考辨析(1)(2)(3)(4)(5)考点自测1A2.A3.D4.C5.(1)外(2)垂题型分类深度剖析例1证明由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.因此EFHD，从而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得.所以OH1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，且OH，EF平面ABCD，所以DH平面ABCD.跟踪训练1证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.例2证明(1)取PA的中点H，连接EH，DH.又E为PB的中点，所以EH綊AB.又CD綊AB，所以EH綊CD.所以四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD.所以CE平面PAD.(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EFPA.又因为ABPA，所以EFAB，同理可证ABFG.又因为EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG.所以AB平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD，又ABCD，所以MNAB，所以MN平面EFG.又因为MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.引申探究1证明因为ABPA，ABAC，且PAACA，所以AB平面PAC.又MNCD，CDAB，所以MNAB，所以MN平面PAC.又MN平面EMN，所以平面EMN平面PAC.2证明因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EFPA，FGAC，又EF平面PAC，PA平面PAC，所以EF平面PAC.同理，FG平面PAC.又EFFGF，所以平面EFG平面PAC.跟踪训练2证明(1)由已知，DE为ABC的中位线，DEAC，又由三棱柱的性质可得ACA1C1，DEA1C1，又DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，AA1A1C1，又A1B1A1C1，且A1B1AA1A1，A1C1平面ABB1A1，B1D平面ABB1A1，A1C1B1D，又A1FB1D，且A1FA1C1A1，B1D平面A1C1F，又B1D平面B1DE，平面B1DE平面A1C1F.例3(1)证明在三棱台ABCDEF中，ACDF，AC平面ACE，DF平面ACE，DF平面ACE.又DF平面DEF，平面ACE平面DEFa，DFa.(2)解线段BE上存在点G，且BGBE，使得平面DFG平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD，GF，CFEF，GFCE.在三棱台ABCDEF中，ABBCDEEF.由CF平面DEFCFDE.又CFEFF，DE平面CBEF，DEGF.GF平面CDE.又GF平面DFG，平面DFG平面CDE.此时，如平面图所示，延长CB，FG交于点H，O为CE的中点，EFCF2BC，由平面几何知识易证HOCFOE，HBBCEF.由HGBFGE可知，即BGBE.跟踪训练3(1)证明连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM，在B1AC中，M，O分别为AC，AB1中点，OMB1C，又OM平面A1BM，B1C平面A1BM，B1C平面A1BM.(2)证明侧棱AA1底面ABC，BM平面ABC，AA1BM，又M为棱AC中点，ABBC，BMAC.AA1ACA，BM平面ACC1A1，BMAC1.AC2，AM1.又AA1，在RtACC1和RtA1AM中，tanAC1CtanA1MA.AC1CA1MA，即AC1CC1ACA1MAC1AC90，A1MAC1.BMA1MM，AC1平面A1BM.(3)解当点N为BB1中点，即时，平面AC1N平面AA1C1C.证明如下：设AC1中点为D，连接DM，DN.D，M分别为AC1，AC中点，DMCC1，且DMCC1.又N为BB1中点，DMBN，且DMBN，四边形BNDM为平行四边形，BMDN，BM平面ACC1A1，DN平面ACC1A1.又DN平面AC1N，平面AC1N平面AA1C1C.思想与方法系列典例证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.2分N，K分别为CD，C1D1的中点，DND1K，DND1K，四边形DD1KN为平行四边形，3分KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN，四边形AA1KN为平行四边形，ANA1K.4分A1K平面A1MK，AN平面A1MK，AN平面A1MK.6分(2)如图所示，连接B