多重积分的方法总结.doc

多重积分的方法总结专业：土木与交通专业姓名：朱世豪 董硕硕学号：201205309 201205327任课教师：多重积分的方法总结二重积分和三重积分的概念都有实际的几何或物理的背景，定义分为四个步骤用构造的方法给出，最终表现为“黎曼和”的极限故多重积分具有极限的基本性质，如唯一性，线性性质等定义给出了概念的一个准确描述方法，进而从定义出发可以从纯逻辑上考察概念具有的性质以及计算方法和定积分的概念对应，多重积分和定积分的定义及性质一致，其定义和性质都不难理解把握这里的概念，需要大家从这几个角度来理解：1. 几何和物理背景；2. 定义形式；3.概念的性质；4.计算方法；5.应用计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式具体的一些作法在下面给出一二重积分的计算重积分的计算主要是化为多次的积分这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分1. 在直角坐标下：(a) X-型区域几何直观表现：用平行于y轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数和；被积区域的集合表示：；二重积分化为二次积分：(b) Y-型区域几何直观表现：用平行于x轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数和；被积区域的集合表示：；二重积分化为二次积分：2. （1）在极坐标下：几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数和（具体如圆域，扇形域和环域等）； 被积区域的集合表示：，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式；直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化（2） 极坐标中的累次积分法当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为时，采用极坐标变换 T=于是二重积分极坐标形式为 例1 把化成极坐标系中的累次积分，其中D是由圆解 在极坐标系中画出区域 D 如图4， 并把 D 的边界曲线 x 2 + y2 = 2Ry 化为极坐标方程， 图4即为 作射线 q = 0 与 q = p 夹紧域 D .在 0, p 中任作射线与域边界交两点 r1 = 0，r2 = 2Rsinq ， 得 3. 二重积分的换元法：在闭区域D上连续，设有变换将一一映射到D上，又关于u, v有一阶连续的偏导数，且, 则有二 三重积分的计算三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理1. 在直角坐标下：空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数和，并把区域投影到xoy面上从而确定的范围，记为；被积区域的集合表示：, 进一步地, 可以表示成X型区域或Y型区域;三重积分化为三次积分：（所谓“二套一”的形式）（为X型）（为Y型）注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz面或zox面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何？可见，三重积分最多可以对应六种积分次序这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy面的截面面积容易求得作为被积函数最好与x，y无关，即可表示为为则区域表示为：,其中表示垂直于轴的截面此时，三重积分化为：（所谓“一套二”的形式）其中表示截面的面积，它是关于z的函数2. 在柱坐标下：柱坐标与直角坐标的关系：空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数和空间区域在xoy面上的投影区域易于用参数和表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且和也易于进一步表示z成关于较简单的函数形式，比如可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）； 被积区域的集合表示：；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分： 3. 在球坐标下： 球坐标与直角坐标的关系：空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数和; （具体如球心在原点或z轴上的球形域）被积区域的集合表示：；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：=如球心在原点半径为的球形域下：4. 三重积分的换元法：在闭区域V上连续，设有变换将一一映射到V上，又和关于u, v和w有一阶连续的偏导数，且, 则有三多重积分的几何和物理应用1. 几何应用a) 二重积分求平面区域面积；b)二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d)二重积分求空间曲面的面积求曲面的面积，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：i) 曲面方程ii)曲面参数方程注：这里的公式都对函数有相应的微分条件2. 物理应用包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了 以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法处理重积分计算时从几