湖南省岳阳县第一中学2014年物理奥赛教案+第一讲+力和平衡.doc

湖南省岳阳县第一中学2014年物理奥赛教案第一讲 力和平衡知识要点：力学中常见的几种力。摩擦力。弹性力。胡克定律。万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式（不要求导出）。共点力作用下物体的平衡。力矩。刚体的平衡。重心。物体平衡的种类。物体相对于地球静止或匀速直线运动的状态叫平衡；物体与物体之间的相互作用称之为力；物体受力都要发生形变，在研究力对物体的运动效应之前，可把物体简化为各点间距离保持不变的刚体。研究平衡系统的主要任务是：首先把平衡物体从其所在位置隔离出来，用力取代其它物体(或场)对它的作用，把它简化为受力的平衡刚体；其次，研究作用在平衡刚体上的平衡力系，从基本的二力平衡原理出发，运用矢量方法，导出它所满足的平衡条件；然后针对具体问题，直接运用相应力系的平衡条件进行数学求解，求出物体所受的全部未知力或平衡的几何位置。一、矢量的运算1、加法a b表达： + = 。名词：为“和矢量”。法则：平行四边形法则。如图所示。和矢量大小：c = ，其中a为和的夹角。和矢量方向：在、之间，和夹角= arcsin2、减法表达： = 。名词：为“被减数矢量”，为“减数矢量”，为“差矢量”。法则：三角形法则。如图所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。q 差矢量大小：a = ，其中为和的夹角。差矢量的方向可以用正弦定理求得。一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。对于曲线上矢量的合成也同样可以进行。如：已知质点做匀速率圆周运动，半径为R ，周期为T ，求它在T内和在T内的平均加速度大小。ABORvAvAvBv1v2vAvC解析：如图所示，A到B点对应T的过程，A到C点对应T的过程。这三点的速度矢量分别设为、和。根据加速度的定义 = 得：= ，= 由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量 = ，= ，根据三角形法则，它们在图中的大小、方向已绘出（的“三角形”已被拉伸成一条直线）。本题只关心各矢量的大小，显然： = = = ，且： = = ， = 2= 所以：= = = ，= = = 。观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动？答：否；不是。3、乘法矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法有着质的不同。 叉乘表达： = 名词：称“矢量的叉积”，它是一个新的矢量。叉积的大小：c = absin，其中为和的夹角。意义：的大小对应由和作成的平行四边形的面积。叉积的方向：垂直和确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图所示。显然，但有：= 点乘表达： = c名词：c称“矢量的点积”，它不再是一个矢量，而是一个标量。点积的大小：c = abcos，其中为和的夹角。如功的定义为：W=FScosq二、力、刚体、五个静力学公理1、力物体间的相互作用，是物体产生加速度和形变原因。力系是作用在物体上的一群力，根据其力的作用线在空间的几何位置关系，分为空间、平面、汇交、平衡力系等。FF在研究力对刚体的运动效应时，由力的等效原理可知，力对刚体是滑移矢量，作用点沿力的作用线滑移。如如图所示。注：力可沿一个刚体滑移，但不可从一个刚体滑移到另一个刚体上，也不要在一个变形体上滑移。2、刚体不因力的作用而发生形变的物体就叫做刚体。刚体是一种理想化的力学模型，实际生活中，当物体因受力作用而发生形变足够小时，以至忽略这种形变即不影响问题的正确解决，又能使解决的过程在为简化，这时就能把该物体当成刚体处理。3、五个静力学公理二力平衡公理两个力平衡的充分必要条件是：此二力作用于同一个刚体上，并且等大、反向、在同一条直线上。请注意，一定要：共物、等大、反向、同直线这四个条件缺一不可。增减平衡力系公理在作用于刚体的任何一个力系上，增加或减去一组平衡力系，原力系对物体的外效应仍然不变。力的平衡四边形定则用一个力等效地代替两个或几个力对物体的共同作用叫力的合成，将一个力化为等效的两个或几个力，叫力的分解。力的合成与力的分解遵循平行四边形定则。牛顿第三定律两个物体间的相互作用力，总是大小相等，方向相反，并且作用在同一条直线上。刚化公理如果可变形体在已知力系的作用下处于平衡状态，则可将此受力物体看作刚体，其平衡不受影响。比如，弹簧就是常见一种典型的可变形物，当它的两端受到压力(或拉力)时就会发生压缩(或拉伸)形变，所加的这一对力等大、反向、共轴线时，弹簧必定稳定在相应的压缩(或拉伸)状态，并保持这种形变量不变，好象成了新形状的刚体。弹簧秤就是凭借这种相应的稳定性来测力和示数的。三、几种常见的力1、重力GG=mg，方向竖直向下。注意：竖直向下是指与当地的静止水平面垂直的方向，也称铅垂线方向。实际上，重力是地球地物体引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转所需要的向心力。2、弹力N直接接触的物体，在发生弹性形变时出现的力称为弹力，方向和接触面法线方向相同，作用点在两个物体的接触处。在弹性限度内，弹簧的弹力与弹簧的形变(伸长量或压缩量)成正比：F=-kx式中k为弹簧的劲度系数，由弹簧本身性质决定(如匝数、材料及弹簧的几何尺寸等)，负号表示弹簧弹力的方向与形变x的方向相反，弹簧伸长时x取正。3、摩擦力f摩擦力分为静摩擦力和滑动摩擦力。是一个物体在另一个物体表面有相对运动或相对运动趋势时，所产生的阻碍相对运动或相对趋势的力，方向沿接触面的切线且阻碍相对运动或相对运动趋势。滑动摩擦力的计算式：f=mN。其中N是正压力，m是动摩擦因数，由接触面的情况和材料决定。静摩擦力的大小是可变的，范围在0ffm之间。式中fm为最大静摩擦力，fm=msN, m是最大静摩擦力系数，略大于m，在没有特别说明的情况下可以认为相等。ajfmFFNfmNGjGsinj摩擦角：令摩擦系数m等于某一角j的正切值，即m=tanj，这个角j称为摩擦角。在临界摩擦(将要发生滑动)状态下，fm/N=ms=tanj。若用fk表示滑动摩擦力，N表示正压力，则滑动摩擦角为：j=arctan(fk/N)支持面作用下物体的沿接触面法线方向的弹力N与最大静摩擦力fm的合力F(简称全反力)与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，如图所示。右图中，当fm=Gsinj，即mGcosj=Gsinj时，m=tanj，此时j就是摩擦角。通常情况下，静摩擦力f未达到最大值，即fsmsN，即fs/Nmstanj，因此接触面反作用于物体的全反力F的作用线与面法线的夹角a=arctanfs/N，不能大于摩擦角，即aj，这可作为判断物体不发生滑动的条件。【例1】如图所示，小木块和水平地面之间的动摩擦因数为m，用一个与水平方面成多大角度的力拉着小木块做匀速直线运动最省力？Fa解析：NNABC【例2】如图所示，两块固定的木板A、B之间夹着一块长方体木块C，C重6N，A、B对C的压力大小都是N=10N，今对C施加一个外力F，将C从两板间水平拉出，求F的大小和方向。已知C与A、B之间的滑动摩擦因数为0.4。解析：答案：大小为10N，方向与水平方向夹tan-10.75小结：涉及到二维或三维情况下的相对运动，常用方法是根据相对运动方向与滑动摩擦力方向相反的结论确定滑动摩擦力方向。wOOFm【例3】如图所示，有一半径为r的圆柱绕竖直轴OO以角速度w匀速转动，如果用力F把质量为m的物体压在圆柱侧面，能使物体以速度v匀速下滑，求物体m与圆柱面之间的滑动摩擦系数？(已知物体m在水平方向受光滑挡板的作用使之不能随圆柱一起转动)解析：v0【例4】一个质量为m=20kg的钢件，架在两根完全相同的平行长直圆柱上，如图所示。钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径r=0.025m，钢件与圆柱间的动摩擦因数为m=0.20。两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转动，角速度为w=40rad/s。若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件做速度为v0=0.050m/s的匀速运动，推力是多大？设钢件左右受光滑导槽限制(图中未画出)不发生横向运动。解析：四、共点力作用下物体平衡1、力的运算法则所有的矢量都遵循平行四边形定则。力的三角形定则：两个矢量相加将两个力首尾相连，连接剩余的两个端点的线段表示合力的大小，合力的方向由第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端；两个矢量相减，将这两个力的始端平移在一起，连接剩余的两个端点的线段即为两个力的差矢量的大小，差矢量的方向指向被减矢量。2、平行力的合成与分解同向平行力的合成：两个平行力FA和FB相距AB，则合力F的大小为FA+FB，作用点C满足FAAC=FBBC的关系。反向平行力的合成：两个大小不同的反向平行力FA和FB相距AB，则合力F的大小为FA-FB(FAFB)，作用点满足FAAC=FBBC的关系。3、共点力作用下物体平衡条件平衡条件：合外力等于零。即F=0，或Fx=0，Fy=04、三力汇交原理若一个物体受三个非平行力而处于平衡状态，则这三个力必为共点力。解决三力平衡问题常用的方法有：正交分解法；合成与分解法；相似三角形法；正弦定律法；图解法等。SMN【例5】两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板上的M、N点，M、N两点间的距离为S，如图所示。已知两绳能承受的最大拉力均为Tm，则每根绳长度不得短于多少？解析：【例6】如图所示，一轻杆两端固定两个小球A和B，A、B两球质量分别为4m和m，轻绳长为L，求平衡时OA、OB分别为多长？(不计绳与滑轮间的摩擦)4mgmgABO解析：qBAC 【例7】如图所示，质量为m的均匀细杆，静止在光滑的半球形容器中，设杆与水平方向的夹角为q，则容器在A点和B点给杆的支持力各多大？解析：参考答案：NAmgtanq；NB=Rr123【例8】如图所示，三个相同的光滑圆柱体，半径为r，堆放在光滑的圆柱面内，试求下面两个圆柱体不致分开时，圆柱面的半径R应满足的条件。解析：答案：R(1+)r【例9】如图所示，半径为R的刚性球固定在水平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀弹性细绳圈，原长为2pa，a=R/2，绳圈的劲度系数为k，将绳圈从球的正上方轻放到球上，使其水平停留在某个静力平衡位置，考虑重力，忽略摩擦。(1)设平衡时绳圈长为2pb，b=a，求劲度系数k(用M、R、g表示，g为重力加速度)O(2)设k=，求绳圈的最后平衡位置及长度。解析：答案：k= 2a。五、力矩、力偶的概念1、力臂从转轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。2、力矩M0(F)ABrFO力和力臂的乘积叫力矩，记为M=FL。单位为：“牛米”。一般规定逆时针方向为正，顺时针方向为负。力矩的进一步理解：力矩也是力使物体绕某点(轴)转动效应的能量。力对点之矩是矢量如图所示，力F对O点之矩，用矢量M0(F)表示，图中r表示力F的作用点A的位置矢量，这个力矩矢量的大小为：M0(F)=rFsin(r,F)=2DABO面积方向：略力对轴之矩是代数量AhFO从一般意义上讲，力对轴之矩是一个沿轴向的矢量，在定轴情况下不必强调矢量性，把它作为代数量处理较为便利。当力线与轴相垂直时，边力线作轴的垂直平面，如图所示，力F对轴O的之矩为M0(F)=Fh通常规定逆时针转向为正。2、力偶由两个等值、反向的平行力组成的力矩。M=FRNRF力偶不能合成一个力，也是一个基本力学量。力偶使物体绕某点(轴)产生转动效应，这种转动效应的大小，由构成该力偶的两个力对某点(轴)之力矩和力偶矩M来量度。3、有固定转轴物体的平衡条件平衡条件：M顺=M逆4、重心物体所受重力的作用点叫重心。计算重心的方法：同向平行力的合成法：各分力对合力作用点的合力矩为零，则合力作用点为重心。ABCxyx1x2xcy1y2yc割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向平行力合成法求重心位置。公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m1和m2的A、B两质点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则由两物体共同组成的整体的重心坐标为xc=，yc=O1OO2【例10】如图所示，飞轮重1500N，由实验测得其重心离转轴O1为4毫米处的O点处，若在右侧离轴25cm处钻一圆孔，剩余部分重心将移动轴心O1，试求钻去部分的重力。(答案：24N)解析：【例11】一个质量为m=50kg的均匀圆柱体，放在台阶的旁边，台阶的高度h是圆柱体半径r的一半，如图所示，圆柱体与台阶接触处（如图中P点）是粗糙的，现要在图中圆柱体的最上方A处施一最小的力使圆柱体则能开始以P为轴向台阶上滚动，求：OrAPh(1)所施力的最小值；(2)台阶对圆柱体的作用力的大小。参考答案：(1)2.45102N；(2)4.32102NAOECDO【例12】半径为R、质量为m1的均匀圆球与一质量为m2的重物分别用细绳AD和ACE悬挂于同一点A，并处于平衡。如图所示，已知悬点A到球心O的距离为L，若不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD和竖直方向的夹角q。(10届预赛试题)解析：ABOab小结：由力矩平衡关系处理问题，关键是转轴的选择，通常选择未知又不需要求的力的作用点所在的轴为转轴，这样减小方程中未知量个数，简化运算。【例13】有一个水平放置的半径为R的圆柱形光滑槽面，其轴线通过O点，槽内放着两个半径均为r的光滑圆柱体A、B，如图所示，质量分别为mA和mB，且r=R/3，求圆柱体A、B平衡时，OA线与竖直线间的夹角a是多少？解析：答案：a=tan-1【例14】如图所示，一根细棒上端A处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等，两棒限在图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在C端加一适当的外力(纸面内)，可使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90，且C端正处于A端的正下方。ABC(1)不管两棒质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？试说明道理(不要求推理)。(2)如果AB棒质量m1=1kg，BC棒的质量为m2=2kg，求此外力大小和方向。解析：【例15】如图所示，一个半径为R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为m），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F的水平拉力。试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？解析：这是一个典型的力矩平衡的例题。答案： 。A1B1A2A3A4A5A6B2B3B4B5B6m【例16】有六个完全相同的刚性长条薄片AiBi(i=1,2,3,6)，其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重量均可以不计，现将此六个薄片架在一只水平的碗口上，另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将一质量为m的质点放在薄片A6B6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A6的距离，求此薄片A6B6中点所受的(由另一薄片的小突起A1所施的)压力。(6届预赛试题)解析：答案：P=【例17】某水果店，所用的秤是量程为10kg的吊盘式杆秤。现有一较大西瓜，超过此秤的量程。店员甲找到另一秤砣，与此杆秤秤砣完全相同，把它与原秤砣结在一起作为秤砣进行称量。平衡时，双砣位于6.5kg刻度处，他将刻度乘以2得13kg，作为此西瓜的质量，卖给顾客，店员乙对这种称量结果表示怀疑，为了检验，他取另一西瓜，用单秤砣正常称量得8kg，用店员甲的双秤砣去称量，示数为3kg，乘以2得6kg。这证明店员甲的办法是不可靠的。试问，店员甲卖给顾客的那个西瓜实际质量是多大？(9届预赛试题)解析： 六、一般物体的平衡 稳度1、物体平衡的种类可分为三种：(1)稳定平衡当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使之回到平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡，处于稳定平衡的物体偏离平衡位置时一般是势能增加。(2)不稳定平衡当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使它的偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定平衡，处于不稳定平衡的物体偏离平衡位置时一般是势能减小。(3)随遇平衡当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它能够在新的位置上再次平衡，这样的平衡叫随遇平衡。处于随遇平衡的物体偏离平衡位置时势能一般不变。2、浮体平衡的稳定性WFAGWFBGB(a)(b)浮在流体表面的浮体，所受浮力与重力大小相等、方向相反，处于平衡状态，浮体平衡的稳定性，将因所受扰动方式的不同而异。显然，浮体对铅垂方向的扰动，其平衡是稳定的，对水平方向的扰动，其平衡是随遇的。浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动，其平衡的稳定性视具体情况而定，以浮于水面的般体为例：当船体向右倾斜(即船体绕过质心的水平对称轴转动一小角度)时，其浮心B将向右偏离，浮力FB与重力W构成一对力偶，力偶矩将促使船体恢复到原来的方位，如图a所示。可见船体对这种扰动，其平衡是稳定的。但如果船体重心G太高，船体倾斜所造成的力偶也可能促使倾斜加剧，这时船体的平衡就是不稳定的，如图b所示。3、稳度123物体稳定的程度。一般来讲，使一个物体的平衡遭到破坏所需要的能量越多，这个平衡的稳度就越高。【例18】如图所示，三个直径为重力相同的圆柱体垛在起，问圆柱体之间摩擦因数m最小为何值时，它们才不会滚散？(已知圆柱体与地面及圆柱体之间的摩擦因数相同)解析：【例19】用一根细线竖直悬挂一根长为L的均匀细木杆，置于水桶内水平面上方，如图所示，当水桶缓慢上提时，细杆逐渐浸入水中，当木杆浸入水中超过一定深度L时，木杆开始出现倾斜现象，求L。已知木杆的密度为r，水的密度为r0。解析：【例20】边长为a的均匀立方体，对称地放在一个半径为r的圆柱面顶部，如图所示。假设静摩擦系数足够大，足以阻止立方体下滑，试证物体稳定的平衡条件为ra/2。rarCqqO解析：Lm1m2ABABFh【例21】用两个“爬犁”(雪撬)在水平雪地上运送一根质量为m、长为L的均匀横梁，简化示意图如图所示，每个爬犁的上端A与被运送的横梁端头固连，下端B与雪地接触，假设接触面积很小，一水平牵引力F作用于前爬犁，作用点到雪地的距离用h表示，已知前爬犁与雪地间的动摩擦因数为m1，后爬犁与雪地间的动摩擦因数为m2。问要在前后两爬犁都与雪地接触的条件下，使横梁沿雪地匀速向前移动，h应满足什么条件？水平牵引力F应多大？设爬犁的质量可忽略不计。Ff1N1f2N2L解析：【例22】如图所示，杯中盛有密度均匀的混合液体，其密度为，经过一段时间后变为密度分别为1和2的(1FB)，作用点满足FAAC=FBBC的关系。3、共点力作用下物体平衡条件平衡条件：合外力等于零。即F=0，或Fx=0，Fy=04、三力汇交原理(受三力平衡的物体，三力若不平行，则必共点)若一个物体受三个非平行力而处于平衡状态，则这三个力必为共点力。解决三力平衡问题常用的方法有：正交分解法；合成与分解法；相似三角形法；正弦定理法；图解法等。SMN【例5】两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板上的M、N点，M、N两点间的距离为S，如图所示。已知两绳能承受的最大拉力均为Tm，则每根绳长度不得短于多少？解析：选物体m为研究对象，受力如图所示，设拉力T与竖直方向夹角为q，由平衡条件有2Tcosq=mg，由图中几何关系看出：cosq=，由此得：T=又因为TTm，所以Tm整理得：L【例6】如图所示，一轻杆两端固定两个小球A和B，A、B两球质量分别为4m和m，轻绳长为L，求平衡时OA、OB分别为多长？(不计绳与滑轮间的摩擦)4mgmgABO解法一：相似三角形法分别对A、B作出受力图，由图上可见，利用相似三角形法有：=，=又因为A、B由同一根轻绳相连，所以TA=TB，且绳子长度一定，有：OA+OB=L联立解得：OA=L/5，OB=4L/5解法二：转轴物体平衡法4mgL1=mgL2，故L1:L2=1:4其余同上。解法三：质心法。【例7】如图所示，质量为m的均匀细杆，静止在光滑的半球形容器中，设杆与水平方向的夹角为q，则容器在A点和B点给杆的支持力各多大？qBACqBGCNANBq90-2qA解析：正弦定理法。如图所示，先受力分析，然后找出角度的关系，由正弦定理有：=解得：NAmgtanq；NB=【例8】如图所示，三个相同的光滑圆柱体，半径为r，堆放在光滑的圆柱面内，试求下面两个圆柱体不致分开时，圆柱面的半径R应满足的条件。解析：设球1受到下面圆柱面的弹力为N2，球2受到底下圆柱面的弹力为N1，且N1与竖直方向夹角为a，要使2、3两球刚好不分开的条件是这两球无弹力。选球1为对象，由受力图有：Rr123mg=2N2cos30，得N2=选球2为对象，由平衡条件得：N1sina=sin30mgra23N1N2N1cosa=mg+cos30消去N1得：tana=，sina=由几何关系看出：=得：R=(1+)r，即球2、3不分开的条件是R(1+)r=6.3rO【例9】如图所示，半径为R的刚性球固定在水平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀弹性细绳圈，原长为2pa，a=R/2，绳圈的劲度系数为k，将绳圈从球的正上方轻放到球上，使其水平停留在某个静力平衡位置，考虑重力，忽略摩擦。(1)设平衡时绳圈长为2pb，b=a，求劲度系数k(用M、R、g表示，g为重力加速度)(2)设k=，求绳圈的最后平衡位置及长度。解析：(1)设平衡时绳圈位于球面上对应于纬度为q的纬度线上，绳中张力为T，选择一微元段L为对象，对应顶角为q，质量为m，如图所示，如图所示FTTq故F=2Tsin()；m=由图可知，对微元分析知：Nsinq=F，mg=NcosqOmgNF故T=因为q0，上式简化得：T=对弹性绳满足胡克定律，T=2k(b-a)T=2k()a=kR()ORqx由几何知识有：sinq=b/R=，tanq=1因此 k=(2)当k=时，由(1)的结论T=及T=2k(x-a)得tanq=2sinq-1变形得：sinq=2sinqcosq-cosq，得：sin22q=1+2sinqcosq因为0sin(2q)1，故上式无解，表明此时弹性绳已落在桌面上，这时绳长为原长2a。五、力矩、力偶的概念1、力臂从转轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。2、力矩M0(F)ABrFO力和力臂的乘积叫力矩，记为M=FL。单位为：“牛米”。一般规定逆时针方向为正，顺时针方向为负。力矩的进一步理解：力矩也是力使物体绕某点(轴)转动效应的能量。力对点之矩是矢量如图所示，力F对O点之矩，用矢量M0(F)表示，图中r表示力F的作用点A的位置矢量，这个力矩矢量的大小为：M0(F)=rFsin(r,F)=2DABO面积方向：略力对轴之矩是代数量AhFO从一般意义上讲，力对轴之矩是一个沿轴向的矢量，在定轴情况下不必强调矢量性，把它作为代数量处理较为便利。当力线与轴相垂直时，边力线作轴的垂直平面，如图所示，力F对轴O的之矩为M0(F)=Fh通常规定逆时针转向为正。2、力偶由两个等值、反向的平行力组成的力矩。M=FRNRF力偶不能合成一个力，也是一个基本力学量。力偶使物体绕某点(轴)产生转动效应，这种转动效应的大小，由构成该力偶的两个力对某点(轴)之力矩和力偶矩M来量度。3、有固定转轴物体的平衡条件平衡条件：M顺=M逆4、重心物体所受重力的作用点叫重心。计算重心的方法：同向平行力的合成法：各分力对合力作用点的合力矩为零，则合力作用点为重心。ABCxyx1x2xcy1y2yc割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向平行力合成法求重心位置。公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m1和m2的A、B两质点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则由两物体共同组成的整体的重心坐标为xc=，yc=O1OO2x1x2【例10】如图所示，飞轮重1500N，由实验测得其重心离转轴O1为4毫米处的O点处，若在右侧离轴25cm处钻一圆孔，剩余部分重心将移动轴心O1，试求钻去部分的重力。解析：补偿法，设钻去部分重力为G，离中心O的距离为x2，O1离O的距离为x1，若把钻去部分补起来，则系统总重力在O处，故有(1500-G)x1=Gx2，得G=24N注：本题亦可把钻去的部分看成是一个顺时针方向的力矩和一个逆时针方向的力矩叠加而成，当两个力矩去处理，比较方法。【例11】一个质量为m=50kg的均匀圆柱体，放在台阶的旁边，台阶的高度h是圆柱体半径r的一半，如图所示，圆柱体与台阶接触处（如图中P点）是粗糙的，现要在图中圆柱体的最上方A处施一最小的力使圆柱体则能开始以P为轴向台阶上滚动，求：(1)所施力的最小值；(2)台阶对圆柱体的作用力的大小。OrAPh解析：(1)连接AP，作A作AP的垂线，即为最小力的方向。可得最小力为2.45102N；(2)方法很多。法一：小球受力三力作用，由SFx=0，SFx=0可求出法二：由三力汇交原理可知，台对球的作用力一定过A点，而F又平行于P与最低点连线，可在一个直角三角形中求出力的大小为4.32102N【例12】半径为R、质量为m1的均匀圆球与一质量为m2的重物分别用细绳AD和ACE悬挂于同一点A，并处于平衡。如图所示，已知悬点A到球心O的距离为L，若不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD和竖直方向的夹角q。(10届预赛试题)解析：选悬点A为转轴，从A向CO作垂线交于CO于O点，系统受拉力TAD和TAC作用且过悬点，力矩为零，由力矩平衡条件得：AOECDOm1m2m1gOO=m2gCO又在三角形中有：OO=LsinqOC=R-OO=R-Lsinq三式解得：sinq=即q=arcsin小结：由力矩平衡关系处理问题，关键是转轴的选择，通常选择未知又不需要求的力的作用点所在的轴为转轴，这样减小方程中未知量个数，简化运算。ABOab【例13】有一个水平放置的半径为R的圆柱形光滑槽面，其轴线通过O点，槽内放着两个半径均为r的光滑圆柱体A、B，如图所示，质量分别为mA和mB，且r=R/3，求圆柱体A、B平衡时，OA线与竖直线间的夹角a是多少？解析：对本题常用的处理方法是分别隔离A、B两物体，各自利用共点力作用下物体的平衡条件求得。不过，这样处理比较繁琐，如把A、B两物看成一个整体，它相当于绕过大圆柱圆心的水平轴转动。由于大圆柱面对两球的弹力均指向转轴，故这两个力对转轴不产生力矩，从而能方便地求得问题的解。设OA、OB连线分别与竖直线夹a、b角，以过O点的水平线为轴，对系统有：mAg(R-r)sina=mBg(R-r)sinb又因为OA=OB=AB=2r所以a+b=60解得：a=tan-1【例14】如图所示，一根细棒上端A处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等，两棒限在图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在C端加一适当的外力(纸面内)，可使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90，且C端正处于A端的正下方。ABC(1)不管两棒质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？试说明道理(不要求推理)。(2)如果AB棒质量m1=1kg，BC棒的质量为m2=2kg，求此外力大小和方向。解析：(1)选两棒整体分析，受重力m1g和m2g作用，它们对A轴有顺时针方向的力矩，因此，在C端施加的力F方向不能指向AC竖直线的左方，对BC棒而言，受重力m2g作用，以B为轴，产生逆时针方向力矩，故力F方向只能在BC棒的左上方。综合二者分析知力F的方向只能在ACB的范围内斜向右上方，棒才可能平衡。(2)设力F的方向与AC夹角为a，每棒长为L，由力矩平衡条件：ABCFxFyFa对整体选A为轴，则有(m1+m2)g=Fsina对BC棒选B为轴，有：m2g=FLsin(45-a)代入数据，求得：F=19N，方向为a=arcsin0.395。小结：在求力矩时，如遇力臂不易找时，可以将力分解，求出各分力的力矩后再求合力矩。合力矩与分力矩的关系是：合力矩等于各分力矩对转轴力矩的代数和。FRLO【例15】如图所示，一个半径为R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为m），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F的水平拉力。试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？解析：这是一个典型的力矩平衡的例题。以球和杆为对象，研究其对转轴O的转动平衡，设木板拉出时给球体的摩擦力为f ，支持力为N ，重力为G ，力矩平衡方程为：f R + N（R + L）= G（R + L） 球和板已相对滑动，故：f = N 解可得：f = 再看木板的平衡，F=f，(可推出G的表达式)。同理，木板插进去时，球体和木板之间的摩擦f= = F。解得：F= 。A1B1A2A3A4A5A6B2B3B4B5B6m【例16】有六个完全相同的刚性长条薄片AiBi(i=1,2,3,6)，其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重量均可以不计，现将此六个薄片架在一只水平的碗口上，另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将一质量为m的质点放在薄片A6B6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A6的距离，求此薄片A6B6中点所受的(由另一薄片的小突起A1所施的)压力。(6届预赛试题)解析：设所求的压力P1=P(向下)，并设任一小突起Ai，对其下