基本不等式与线性规划.doc

基本不等式与线性规划一、 知识框架1.基本不等式： 2.利用线性规划求最值的步骤： 二、基础自测1.若变量满足约束条件, . 2.已知，且，则的最小值是 . 3.已知函数的图象过点，则此函数的最小值是 .64. 记不等式组所表示的平面区域为,若直线与有公共点,则的取值范围是 . 5.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:, 的单位:)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是 . 6.若直三角形的周长为,则它的最大面积为_.三、典型例题例1（1）已知,满足约束条件,若的最小值为,则 .（2）已知实数，满足不等式，则的取值范围是 例2（1）设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为 . 1（2）若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 例3 设aR，若x0时均有(a1)x1( x 2ax1)0，则a_ 例4 如图，已知矩形油画的长为a，宽为b在该矩形油画的四边镶金箔，四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画设壁画的左右两边金箔的宽为x，上下两边金箔的宽为y，壁画的总面积为S（1）用x，y，a，b表示S；（2）若S为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总 面积最大求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x，y的值解：（1）壁画由9个小矩形构成，其面积为9个矩形的面和壁画的总面积为S=2bx+2ay+4xy+ab，x，y0（2）依题意，即求4xy的最大值因为x，y0，所以，从而，当且仅当bx=ay时等号成立令，则t0，上述不等式可以为解得因为t0，所以，从而由解得（舍去负值）此时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为ab+S-2四、巩固提升1.设关于的不等式组表示的平面区域内存在点,满足,求得的取值范围是 . 2.设，则当_时, 取得最小值. 3.已知_. 124.已知，且，则 . 5.给定区域:,令点集,是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定 条不同的直线. 66.设O为坐标原点,M(2,1),若点N(x,y)满足则|cosMON的最大值为 7.设,若对任意的正实数，都存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围是 . （1，3）（1，3）8.已知集合，.若“点”是“点”的必要条件，则当最大时，的值是 . 9已知满足若，则z的取值范围为 . 10. 已知x，y为正数，则的最大值为 11.如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ始终为45（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设（1）用t表示出PQ的长度，并探求CPQ的周长l是否为定值（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少（平方百米）？(1)由题意，知，.（2）当且仅当时取等号.故探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为（）平方百米.12.对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度含污物体的清洁度定义为1-为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1a3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(xa-1),用y质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中c(0.8c0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.(1)分别求出方案甲以及c0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(2)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.解:(1)方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有0.99,解得x19.由c0.95得方s案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程,解得y4a,故z4a+3,即两种方案的用水量分别为19与4a+3.因为当1a3时,x-z4(4-a)0,即xz,故方案乙的用水量较少.(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y,类似(1)得,ya(99-100c).(*)于是,.当a为定值时,x+y,当且仅当时等号成立.此时(不合题意,舍去)或(0.8,0.99),将代入(*)式得.故时总用