北师大版必修四 2.8 平面向量 小结与复习 学案.docx

第二章 平面向量（小结与复习）-学案一、学习目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。2. 了解平面向量基本定理. :学 3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4. 了解向量形式的三角形不等式：|-|+|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|+|)=|+|+|.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）： : xx 6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，=|cos= 注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、自主学习 （一）知识梳理、构建 络1平面向量的基本概念： 2向量的线性运算： 3向量的坐标运算： 4平面向量的数量积： 5平面向量的应用： 三、合作探究 专题一向量的共线问题运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a、b(a0)共线存在唯一实数，使ba；(2)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线x1y2x2y10；(3)向量a与b共线|ab|a|b|；(4)向量a与b共线存在不全为零的实数1，2，使1a2b0.判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点【例1】 设坐标平面上有三点a、b、c，i、j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量i2j，imj，那么是否存在实数m，使a、b、c三点共线解法一假设满足条件的m存在，由a、b、c三点共线，即，存在实数，使，i2j(imj)，m2，当m2时，a、b、c三点共线法二假设满足条件的m存在，根据题意可知：i(1,0)，j(0,1)，(1,0)2(0,1)(1，2)，(1,0)m(0,1)(1，m)，由a、b、c三点共线，即，故1m1(2)0，解得m2，当m2时，a、b、c三点共线专题二向量的夹角及垂直问题1求两个向量的夹角主要利用两个公式：(1)cos ，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模(2)cos ，求解的前提是：可以求出两个向量的坐标2解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x1x2y1y20”较为简单3用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角【例2】 已知三个点a(2,1)，b(3,2)，d(1,4)(1)求证：abad；(2)若四边形abcd为矩形，求点c的坐标以及矩形abcd两对角线所夹锐角的余弦值(1)证明a(2,1)，b(3,2)，d(1,4)，(1,1)，(3,3)1(3)130，即abad.(2)解，四边形abcd为矩形，.设c点坐标为(x，y)，则(x1，y4)，解得点c坐标为(0,5)从而(2,4)，(4,2)，且|2，|2，8816，设与的夹角为，则cos .矩形abcd的两条对角线所夹锐角的余弦值为.专题三向量的长度(模)与距离的问题向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点一般地，求向量的模主要利用公式|a|2a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a|，将它转化为实数问题，使问题得以解决【例3】 设|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|的值解法一|3a2b|3，9a212ab4b29.又|a|b|1，ab.|3ab|2(3ab)29a26abb296112.|3ab|2.法二设a(x1，y1)，b(x2，y2)|a|b|1，xyxy1.3a2b(3x12x2,3y12y2)，|3a2b|3.x1x2y1y2.|3ab| 2.专题四平面向量与函数的综合问题平面向量既反映了数量关系，又体现了几何图形的位置关系，从而将数和形有机地结合起来，因此以平面向量的相关知识为载体，在知识交汇处设计创新力度较大、综合性较强的试题，有效地沟通了知识间的横向联系，有助于知识 络的构建，有力地考查了学生的综合能力【例4】 设0|a|2，f(x)cos2x|a|sin x|b|的最大值为0，最小值为4，且a与b的夹角为45，求|ab|.解f(x)1sin2x|a|sin x|b|2|b|1.0|a|2，当sin x时，|b|10；当sin x1时，|a|b|4.由得|ab|2(ab)2a22abb222222cos 452284，|ab|2.四、学以致用 1. 已知a(1,2)，b(3,2)，若 a2b与2a4b平行，求实数 的值解法一向量 a2b与2a4b平行，则存在唯一实数，使 a2b(2a4b) a2b (1,2)2(3,2)( 6,2 4)，2a4b2(1,2)4(3,2)(14，4)，( 6,2 4)(14，4)解得实数 的值为1.法二 a2b (1,2)2(3,2)( 6,2 4)，2a4b2(1,2)4(3,2)(14，4)， a2b与2a4b平行，( 6)(4)(2 4)140.解得 1.2.已知向量a(4，2)，b(x,1)(1)若a，b共线，求x的值；(2)若ab，求x的值；(3)当x2时，求a与b夹角的余弦值解(1)a，b共线，2x4.x2.(2)ab，4x20.x.(3)当x2时，ab6，|a|，|b|.c