4.6　三角恒等变换及应用.doc

4.6三角恒等变换及应用sin2；cos2；tan2.(1)sin sin 2sincos ；cos cos 2coscos .sin ；cos ；tan .1 已知cos ，(，2)，则cos _.答案2 tan _.答案23 若sin，则cos 2_.答案4 若，均为钝角，且sin ，cos ，则的值为_答案5 f(tan x)cos 2x，则f()_.答案例1(1)已知，tan ，求的值；(2)已知0，tan ，cos()，求.解(1)，1tan 0，由tan ，得：3tan210tan 30，tan 或tan 3(舍去)2tan 2.(2)0，tan ，tan .sin2cos21，sin .又因为0，所以0.因为cos()，所以sin().又cos ，所以sin sin()sin()cos cos()sin .因为，所以. (1)化简： (0)；(2)求值：sin 10.解(1)原式.因为0，所以00，所以原式cos .(2)原式sin 10sin 10sin 10.2cos 10.例2已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2cos .(1)求角C的大小；(2)若a，b，c成等比数列，求sin A的值解(1)由sin2cos ，得cos ，整理得cos 0.因为在ABC中，0C，所以0.所以cos (舍去cos 0)，从而，即C.(2)因为a，b，c成等比数列，所以b2ac.由(1)知，ABC是以角C为直角的直角三角形，所以c2a2b2，将b2ac代入，整理得a2acc20，上式两边同除以c2，得10，因为sin A，所以sin2Asin A10.又0A，解得sin A(舍去sin A) ABC的三内角分别为A、B、C，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，若mn1cos(AB)，求C.解mnsin Acos Bsin Bcos A(sin Acos Bsin Bcos A)sin(AB)1cos(AB)，sin C1cos C，sin Ccos C1，即2sin1，sin，又C(0，)，C，C.例3已知f(x)sin2x2sinsin.(1)若tan 2，求f()的值；(2)若x，求f(x)的取值范围解(1)f(x)(sin2xsin xcos x)2sincossin 2xsin(sin 2xcos 2x)cos 2x(sin 2xcos 2x).由tan 2，得sin 2.cos 2.所以，f()(sin 2cos 2).(2)由(1)得f(x)(sin 2xcos 2x)sin.由x，得2x.所以sin1,0f(x)，所以f(x)的取值范围是. 已知函数f(x)sin2sin2 (xR)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值时x的集合解(1)因为f(x)sin1cos 22sincos12sin12sin1，所以f(x)的最小正周期T.(2)当f(x)取得最大值时，sin1，此时2x2k(kZ)，即xk (kZ)，所以所求x的集合为x|xk，kZ典例：(14分)已知函数f(x)2cos xcossin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当0，时，若f()1，求的值解(1)因为f(x)2cos xcossin2xsin xcos xcos2xsin xcos xsin2xsin