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第2章平面向量 平面向量的线性运算 向量的加法 减法和数乘的综合运算 通常叫做向量的线性运算 主要是运用它们的运算法则 运算律 解决三点共线 两线段平行 线段相等等问题 而理解相关概念 用基底表示向量是基础 向量的坐标运算 向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示 引入向量的坐标表示后 向量的运算完全转化为代数运算 达到了数与形的统一 通过向量的坐标运算主要解决求向量的坐标 向量的模 判断共线 平行等问题 已知a b c d四点的坐标分别是a 1 0 b 4 3 c 2 4 d m n 当m n满足什么条件时 四边形abcd分别是平行四边形 菱形 矩形 正方形 梯形 a b c d按逆时针方向排列 分析 将平行四边形 菱形等的判断条件用向量的关系式表示出来求解 点评 通过建立直角坐标系 可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示 反过来 任一有序实数对就表示一个向量 这就是说 一个平面向量就是一个有序实数对 这样 就给出了向量的另一种表示 坐标表示法 向量的加法 减法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算 使得向量运算完全代数化 将数与形紧密地结合起来 这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的数量运算 平面向量的数量积 通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向量的长度 模 平面内两点间的距离 两个向量的夹角 判断相应的两条直线是否垂直等 分析 对角线的长即为向量的模 利用模的计算公式求解 点评 数量积的运算是平面向量的核心内容 利用数量积可以解决以下几个大问题 平行问题 垂直问题 求模问题 求夹角问题以及求向量及进行数量积运算等 向量的共线问题 平面向量的应用 平面向量的应用主要体现在三个方面 1 在平面几何中的应用 向量的加法运算和全等 平行 数乘向量和相似 距离 夹角和数量积之间有着密切联系 因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题 2 在解析几何中的应用 主要利用向量平行和垂直的坐标关系求轨迹方程 3 在物理中的应用 分析 把力学问题转化为相应的向量问题 建立数学模型 通过向量的加法法则及平面向量的数量积求解 点评 解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题 即将力学各量之间的关系抽象成数
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