初等数学学年论文.doc

不等式证明的若干方法 摘 要：无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容.而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分.在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯.关键词： 不等式 比较法 数学归纳法 函数1 前 言在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和高等数学中都有很好的体现.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程要迟的多.直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分.在研究数学的不等式过程中，有许多的内容都十分的有用，如：不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法. 在本文中，我们就不一一说明了，而主要的介绍一些证明不等式的常用方法、利用函数证明不等式的方法和利用一些著名不等式证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野，深化一下我们对不等式证明方法的认识，以便于可以站在更高的角度来研究数学不等式.2 常用方法2.1比较法（作差法）1在比较两个实数和的大小时，可借助的符号来判断.步骤一般为：作差变形判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.例1 已知：，求证：.证明 ，故得 .2.2作商法在证题时，一般在，均为正数时，借助或来判断其大小，步骤一般为：作商变形判断（大于1或小于1）.例2 设，求证：.证明 因为 ，所以 ，.而 ，故 .2.3分析法（逆推法）从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆.例3 求证：.证明 要证，即证，即，.由此逆推即得 .2.4综合法2证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法.例4 已知：，同号，求证：.证明 因为，同号，所以 ，则 即 .2.5反证法3先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的.例5 已知，是大于1的整数，求证：.证明 假设 ，则 ，即 ，故 ，这与已知矛盾，所以.2.6迭合法4把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证. 例6 已知：，求证: .证明 因为，所以 ，.由柯西不等式所以原不等式获证.2.7放缩法5在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头.常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法.例7 求证： .证明 令则所以 .2.8数学归纳法6对于含有的不等式，当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立，那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立.例8 已知：，求证：.证明 （1）当时，不等式成立；（2）若时，成立，则=，即成立.根据（1）、（2），对于大于1的自然数都成立.29换元法在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化.例9 已知：，求证：.证明 设，则， 所以 .2.10三角代换法借助三角变换，在证题中可使某些问题变易.例10 已知：，求证：.证明 设，则；设，则所以 . 2.11判别式法7通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式.例11 设，且，求证：.证明 设，则代入中得 ，即 因为，所以， 即 ，解得 ，故.2.12标准化法8形如的函数，其中，且为常数，则当的值之间越接近时，的值越大（或不变）；当时，取最大值，即.标准化定理：当为常数时，有.证明：记，则, 求导得 ，由得 ，即.又由 ,知的极大值点必在时取得.由于当时，故得不等式.同理，可推广到关于个变元的情形.例12 设为三角形的三内角，求证：.证明 由标准化定理得，当时， ， 取最大值，故 .2.13等式法应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明.例13（1956年波兰数学竞赛题）、为的三边长，求证：.证明 由海伦公式，其中.两边平方，移项整理得而,所以 . 2.14分解法按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的.例14 ，且，求证：.证明 因为 .所以 .2.15构造法9-10在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的.例15 已知：，求证：.证明 依题设，构造复数，则，所以 故 .2.16排序法11利用排序不等式来证明某些不等式.排序不等式：设，则有其中是的一个排列.当且仅当或时取等号.简记作：反序和乱序和同序和.例16 求证：.证明 因为有序，所以根据排序不等式同序和最大，即 .2.17借助几何法12借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易.例17 已知：，且，求证：.证明 (如图1.17.1)以为斜边，为直角边作.延长AB至D，使，延长AC至E，使，过C作AD的平行线交DE于F，则，令，所以 又，即，所以 . 图1.17.13 利用函数证明不等式3.1函数极值法通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的.例18 设，求证：.证明 当时， 当时， 故 .3.2单调函数法13-14当属于某区间，有，则单调上升；若，则单调下降.推广之，若证，只须证及即可.例 19 证明不等式 ，证明 设则故当时，严格递增；当严格递减.又因为f在处连续，则当时， 从而证得 3.3中值定理法利用中值定理：是在区间上有定义的连续函数，且可导，则存在，满足来证明某些不等式，达到简便的目的.例20 求证：.证明 设 ，则故 .3.4利用拉格朗日函数例 21 证明不等式 其中为任意正实数.证明 设拉格朗日函数为对 对L求偏导数并令它们都等于0，则有，由方程组的前三式，易的把它代入第四式，求出从而函数L的稳定点为为了判断是否为所求条件极小值，我们可把条件看作隐函数（满足隐函数定理条件），并把目标函数看作与的复合函数.这样，就可应用极值充分条件来做出判断.为此计算如下：当时，由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点.这样就有不等式令则代入不等式有或 参考文献1李长明,周焕山.初等数学研究M.北京:高等教育出版社,1995,253-263.2叶慧萍.反思性教学设计-不等式证明综合法J.数学教学研究,2005,10(3):89-91.3胡炳生,吴俊.现代数学观点下的中学数学M.北京:高等教育出版社,1998,45-50.4宋庆.一个分式不等式的再推广J.中等数学,2006,45(5):29-31.5蒋昌林.也谈一类分式不等式的统一证明J.数学通报,2005,15(2):75-79. 6匡继昌.常用不等式M.济南：山东科技出版社,2004,23-34.7张新全.两个不等式的证明J.数学通报,2006,45(4):54-55.江西科技师范大学数学与计算机科学学院学年论文成绩评定表学生姓名 胡浩学号 20102098专业 数学与应用数学 班级 10数2 学年论文选题 不等式证明的若干方法成绩 一级指标 二级指标 (A级) (B级) (C级) (D级) 项目 小计 选题质量 (16分) 选题指导思想 4 3 2 1 题目难度 43 2 1 选题工作量 43 2 1 结合实际程度 43 2 1 能力水平 (32分) 综合运用知识能力 8 6 4 2 调研及应用资料能力 8 64 2 文献检索能力 8 64 2