北师大版选修11 2.3.1双曲线及其标准方程 课件（34张）.pptx

3双曲线 3 1双曲线及其标准方程 1 双曲线的定义 1 定义 在平面内到两个定点f1 f2距离之差的绝对值等于常数 大于0且小于 f1f2 的点的集合叫作双曲线 2 符号表示 mf1 mf2 2a 常数 0 2a f1f2 3 焦点 两个定点f1 f2 4 焦距 两焦点之间的距离 表示为 f1f2 名师点拨定义中为何强调 绝对值 和 0 f1f2 则动点的轨迹不存在 2 双曲线定义中应注意关键词 绝对值 若去掉定义中 绝对值 三个字 动点轨迹只能是双曲线的一支 平面内到两定点f1 f2的距离的差的绝对值为非零常数 即 mf1 mf2 2a 关键词 平面内 当2a f1f2 时 轨迹不存在 做一做1 已知两定点f1 3 0 f2 3 0 在满足下列条件的平面内动点p的轨迹中 是双曲线的是 a pf1 pf2 5b pf1 pf2 6c pf1 pf2 7d pf1 pf2 0解析 a中 f1f2 6 pf1 pf2 5 f1f2 动点p的轨迹不存在 d中 pf1 pf2 0 即 pf1 pf2 根据线段垂直平分线的性质 动点p的轨迹是线段f1f2的垂直平分线 故选a 答案 a 2 双曲线的标准方程 特别提醒 1 标准方程的代数特征 方程右边是1 左边是关于x y的平方差 并且分母大小关系不确定 2 a b c三个量的关系 标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小 是双曲线的定形条件 这里b2 c2 a2 与椭圆中b2 a2 c2相区别 且椭圆中a b 0 而双曲线中 a b大小不确定 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件答案 a 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 平面内到两定点的距离的差等于常数 小于两定点间距离 的点的轨迹是双曲线 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析可先设出双曲线的标准方程 再构造关于a b的方程组 求得a b 从而求得双曲线的标准方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 双曲线标准方程的两种求法 1 定义法 根据双曲线的定义得到相应的a b c 再写出双曲线的标准方程 特别地 若已知双曲线上两点的坐标 则双曲线的标准方程可能有两个 把点的坐标代入 得到关于a b的两个关系式 由此求解 也可设双曲线方程为ax2 by2 1 ab 0 把点的坐标代入求出a b的值 此种方法计算过程简单 也避免了分类讨论 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 如图 在 abc中 已知 ab 4 且三个内角a b c满足2sina sinc 2sinb 建立适当的坐标系 求顶点c的轨迹方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟 1 求解与双曲线有关的点的轨迹问题 常见的方法有两种 列出等量关系 化简得到方程 寻找几何关系 由双曲线的定义 得出对应的方程 2 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意 双曲线的焦点所在的坐标轴 检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2已知双曲线的方程是 点p在双曲线上 且到其中一个焦点f1的距离为10 点n是pf1的中点 求 on 的大小 o为坐标原点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 1 若双曲线上一点m到它的一个焦点的距离等于16 求点m到另一个焦点的距离 2 如图 若p是双曲线左支上的点 且 pf1 pf2 32 试求 f1pf2的面积 分析 1 双曲线的定义中 mf1 mf2 2a 6 2 利用双曲线的定义和 pf2 f1f2 32 可利用余弦定理求夹角 然后计算面积 探究一 探究二 探究三 思维辨析 由双曲线的定义得 mf1 mf2 2a 6 又双曲线上一点m到它的一个焦点的距离等于16 假设点m到另一个焦点的距离等于x 则 16 x 6 解得x 10或x 22 故点m到另一个焦点的距离为10或22 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟 1 求双曲线上一点到某一焦点的距离时 若已知该点的横 纵坐标 则根据两点间距离公式可求结果 若已知该点到另一焦点的距离 则根据 pf1 pf2 2a求解 注意对所求结果进行必要的验证 负数应该舍去 且所求距离应该不小于c a 2 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时 要注意两点 定义中的条件 pf1 pf2 2a的应用 要利用余弦定理 勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算 在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用 如 pf1 2 pf2 2 pf1 pf2 2 2 pf1 pf2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 1 若 f1pf2 90 求 f1pf2的面积 2 若 f1pf2 60 f1pf2的面积是多少 若 f1pf2 120 f1pf2的面积又是多少 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因忽视隐含条件导致所求轨迹方程错误 典例 已知定点a 3 0 和定圆c x 3 2 y2 16 动圆和圆c相外切 并且过定点a 求动圆圆心m的轨迹方程 易错分析求解中易把动点的轨迹看成双曲线 忽视了双曲线定义中 距离的差的绝对值是常数 这一条件 动点轨迹实际上是双曲线的一支 解设m x y 设动圆与圆c的切点为b bc 4 则 mc mb bc ma mb 所以 mc ma bc 即 mc ma bc 4 ac 所以由双曲线的定义知 m点轨迹是以a c为焦点的双曲线的左支 且a 2 c 3 所以b2 5 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得在求解与双曲线有关的轨迹问题时 准确理解双曲线的定义 才能保证解题的正确性 当 pf1 pf2 2a0 即 pf1 pf2 2a 0 2a f1f2 时 p点的轨迹是双曲线 其中取正号时为双曲线的右支 取负号时为双曲线的左支 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练如图所示 已知定圆f1 x 5 2 y2 1 定圆f2 x 5 2 y2 42 动圆m与定圆f1 f2都外切 求动圆圆心m的轨迹方程 解圆f1 x 5 2 y2 1 圆心f1 5 0 半径r1 1 圆f2 x 5 2 y2 42 圆心f2 5 0 半径r2 4 设动圆m的半径为r 则有 mf1 r 1 mf2 r 4 mf2 mf1 3 10 f1f2 12345 解析 由双曲线的标准方程可知 a2 10 b2 2 于是有c2 a2 b2 12 则2c 4 答案 d 12345 2 已知双曲线标准方程中 a 5 c 7 则该双曲线的标准方程为 答案 c 12345 答案 1 2 12345